Dados os pontos A=(1,-2,3), B=(5,2,5) e C=(-4,2,9) encontre as coordenadas de um ponto D tal que A B C D seja um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de geometria no espaço tridimensional. A questão dá três pontos: , e , e pede para encontrar as coordenadas do ponto de forma que os pontos , , e formem um paralelogramo.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de que em um paralelogramo, os vetores formados por pares de lados opostos são iguais. Ou seja, o vetor deve ser igual ao vetor . Vamos precisar calcular esses vetores e igualar suas coordenadas para encontrar as coordenadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do vetor AB = B - A = (5 - 1, 2 - (-2), 5 - 3) = (4, 4, 2) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, sabemos que DC = C - D = (-4 - xD, 2 - yD, 9 - zD) . Vamos expressar o vetor em termos de e :
Onde são as coordenadas que queremos encontrar.

Passo 4

Igualando os vetores (4, 4, 2) = (-4 - xD, 2 - yD, 9 - zD) e 4 = -4 - xD 4 = 2 - yD 2 = 9 - zD , temos:
Isso nos dá um sistema de três equações:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar xD = -4 - 4 = -8 , yD = 2 - 4 = -2 e zD = 9 - 2 = 7 :

Resposta

As coordenadas do ponto são .

Exercícios relacionados

Obter o vetor v do espaço, sabendo que |v|=2, v forma um ângulo de 120^circ com o vetor k, forma ângulo de 60^circ com o vetor j e ângulo agudo com i.
Escreva o vetor U=V1+V2+V3 como combinação linear dos vetores U1=2 V1+3 V2, U2=V2+V3 e U3=V2+2 V3
Mostre que W=A in Mn times n: tr(A)=0 é um subespaço vetorial de Mn times n.
Dados os vetores u=(3,1), v=(-2,2) e w=(3,2) :
(b) determinar o vetor x tal que 3 x+u=3 v-w.