Obter o vetor
do espaço, sabendo que
forma um ângulo de
com o vetor
, forma ângulo de
com o vetor
e ângulo agudo com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor
no espaço. Sabemos que a magnitude de
é 2, e que ele forma um ângulo de
com o vetor
,
com o vetor
e um ângulo agudo com o vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a decomposição vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no espaço pode ser representado em termos das componentes
,
e
. Ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 3
Sabemos que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Onde
é o ângulo entre eles. Vamos aplicar isso para os ângulos dados entre
e os eixos coordenados.
Passo 4
Vamos começar com o vetor
:
Como
e
, e
, temos:
Passo 5
Agora, para o vetor
:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Por fim, para o vetor
, como o ângulo é agudo, sabemos que
. Vamos chamar esse ângulo de
:
Como não foi dado o valor exato do ângulo com
, vamos usar a condição de que
deve ser 2. Sabemos que:
Substituindo
e
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como o ângulo é agudo,
é positivo.
Resposta
Portanto, o vetor
é:
Exercícios relacionados
Escreva o vetor
como combinação linear dos vetores
e
Dados os vetores
e
, calcule:
.
Dados os pontos
e
encontre as coordenadas de um ponto
tal que
seja um paralelogramo.
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.