Escreva o vetor como combinação linear dos vetores e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre combinações lineares e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Uma combinação linear dos vetores , e significa que podemos escrever como:
onde , e são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos substituir os valores de , e na equação:
Passo 4
Distribuindo os escalares, temos:
Passo 5
Como , podemos igualar os coeficientes correspondentes dos vetores , e :
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação, temos:
a = 12
Passo 7
Substituindo a = 12 na segunda equação:
3(12) + b + c = 1 Rightarrow 32 + b + c = 1 Rightarrow b + c = -12
Passo 8
Agora, temos mais uma equação:
b + 2c = 1
E já sabemos que:
b + c = -12
Subtraindo as duas equações:
(b + 2c) - (b + c) = 1 - (-12) Rightarrow c = 32
Passo 9
Com c = 32, substituímos na equação b + c = -12:
b + 32 = -12 Rightarrow b = -2
Passo 10
Agora que temos os valores de a, b e c, podemos escrever a combinação linear: