Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso tá ligado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços na álgebra linear. Pra resolver isso, vamos verificar três coisas: se
contém o vetor zero, se ele é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é a matriz onde todos os elementos são zero. A traça dessa matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal, também será zero. Então,
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Pegue duas matrizes
e
que estão em
. Isso significa que
e
. A gente sabe que
. Então,
, o que mostra que
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue uma matriz
em
e um escalar
. A traça de
é
. Como
, então
. Assim,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é realmente um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Dados os pontos
e
encontre as coordenadas de um ponto
tal que
seja um paralelogramo.
Obter o vetor
do espaço, sabendo que
forma um ângulo de
com o vetor
, forma ângulo de
com o vetor
e ângulo agudo com
.
Dados os vetores
e
:
(b) determinar o vetor tal que
.
(b) determinar o vetor
Quando dois vetores são linearmente independentes? Dê um exemplo gráfico (desenhe!) de dois vetores linearmente independentes em
.