Mostre que W=A in Mn times n: tr(A)=0 é um subespaço vetorial de Mn times n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso tá ligado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços na álgebra linear. Pra resolver isso, vamos verificar três coisas: se contém o vetor zero, se ele é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é a matriz onde todos os elementos são zero. A traça dessa matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal, também será zero. Então, .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Pegue duas matrizes e que estão em . Isso significa que e . A gente sabe que . Então, , o que mostra que também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue uma matriz em e um escalar . A traça de é . Como , então . Assim, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é realmente um subespaço vetorial de .

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