Dados os pontos A, B e C, exprima o vetor C M em função dos vetores C A e C B, sendo M
a) o ponto médio de A B;
b) um ponto de A B tal que 3 A M=A B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos, , e , e queremos encontrar o vetor em função dos vetores e . O ponto pode ser de duas maneiras:
a) O ponto médio de .
b) Um ponto em tal que .
Para isso, vamos usar conceitos de vetores como posição, combinação linear e ponto médio.

Passo 2

Parte a): Vamos começar com OM = OA + OB2 sendo o ponto médio de .
Primeiro, sabemos que o ponto médio divide o segmento em duas partes iguais. Isso significa que está exatamente no meio de e .
Matematicamente, podemos escrever a posição de como a média das posições de e :
Aqui, é o vetor posição de , e e são os vetores posição de e respectivamente.

Passo 3

Mas queremos expressar CM = OM - OC em função de CM = OA + OB2 - OC e .
Sabemos que:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Agora, vamos reescrever os vetores posição CA = OA - OC e CB = OB - OC e OA = CA + OC em termos de OB = CB + OC e .
Sabemos que:
Então, podemos isolar e :

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação de CM = (CA + OC) + (CB + OC)2 - OC :
CM = CA + CB + 2OC2 - OC
Simplificando:
CM = CA + CB2 + OC - OC
CM = CA + CB2

Resposta

Para a parte a), o vetor CM = 12 ( CA + CB ) é dado por:

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