Seja T: R^3 R^3 um operador linear definido por
T(x, y, z)=(2 x+y-2 z, 2 x+3 y-4 z, x+y-z) Determinar:
(a) Os autovalores associados ao operador linear T;
(b) Os autovetores associados ao operador linear T;
© A multiplicidade algébrica (m.a.) e a multiplicidade geométrica (m.g.) dos autovalores associados ao operador linear T;
(d) Os autoespaços associados aos autovalores do operador linear T. E uma base de autovetores para cada autoespaço;
(e) Uma base de autovetores para o R^3, se existir;
(f) Determinar se o operador linear T é diagonalizável. Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear T(x, y, z) = (2x + y - 2z, ; 2x + 3y - 4z, ; x + y - z) definido por:
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores, autovetores, multiplicidades e diagonalização de operadores lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar matrizes, determinantes e conceitos de espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 2 & 1 & -2 2 & 3 & -4 1 & 1 & -1 como uma matriz . Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz:
Isso vai facilitar a aplicação das fórmulas para encontrar autovalores e autovetores.

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 (parte a), precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular essa determinante.

Passo 4

Subtraímos A - lambda I = 2 - lambda & 1 & -2 2 & 3 - lambda & -4 1 & 1 & -1 - lambda nas diagonais de :
A seguir, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(3 - lambda)(-1 - lambda) - (-4)(1)] - 1[2(-1 - lambda) - (-4)(1)] + (-2)[2(1) - (3 - lambda)(1)]
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Simplificando cada parte:
(3 - lambda)(-1 - lambda) = -3 - 3lambda + lambda + lambda^2 = lambda^2 - 2lambda - 3
(-4)(1) = -4
Então:
(2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 3 + 4) = (2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda + 1)
Continuamos simplificando os outros termos:
1[2(-1 - lambda) - (-4)(1)] = 1[-2 - 2lambda + 4] = 2 - 2lambda
-2[2(1) - (3 - lambda)(1)] = -2[2 - 3 + lambda] = -2(-1 + lambda) = 2 - 2lambda
Juntando tudo:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda + 1) - (2 - 2lambda) + (2 - 2lambda)
Perceba que os últimos dois termos se cancelam:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda + 1)

Passo 7

Vamos resolver a equação:
(2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda + 1) = 0
Isso nos dá os autovalores quando cada fator é igual a zero:
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
lambda^2 - 2lambda + 1 = 0 Rightarrow (lambda - 1)^2 = 0 Rightarrow lambda = 1 com mu

Passo 8

Então, os autovalores de lambda1 = 2 e lambda2 = 1 (com mu são:
é
Isso responde à parte (a).

Passo 9

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor (parte b). Vamos começar com A - 2I = 0 & 1 & -2 2 & 1 & -4 1 & 1 & -3 .
Para , resolvemos :
Resolvendo este sistema, encontramos os autovetores.

Passo 10

Resolvendo o sistema:
0x + y - 2z = 0 2x + y - 4z = 0 x + y - 3z = 0
Podemos expressar y = 2z em termos de x + 2z - 3z = 0 Rightarrow x - z = 0 Rightarrow x = z a partir da primeira equação:
v1 = 1 2 1
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores são da forma .
Portanto, um autovetor para é:

Passo 11

Agora, para A - I = 1 & 1 & -2 2 & 2 & -4 1 & 1 & -2 , resolvemos :
Vamos resolver esse sistema para achar os autovetores.

Passo 12

Resolvendo o sistema:
x + y - 2z = 0 2x + 2y - 4z = 0 x + y - 2z = 0
Notamos que a segunda equação é o dobro da primeira, então temos apenas uma equação independente:
x + y = 2z
Podemos expressar y = 2z - x em termos de v2 = s 1 -1 0 + t 0 2 1 e :
Então, os autovetores são da forma . Vamos parametrizar com e :
Isso significa que temos uma família de autovetores para .

Passo 13

Portanto, os autovetores para 1 -1 0 e 0 2 1 são combinações lineares de:
Isso responde à parte (b).

Passo 14

Agora, vamos falar sobre a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica dos autovalores (parte c).
  • Multiplicidade Algébrica (m.a.): É quantas vezes o autovalor aparece na equação característica.
  • Multiplicidade Geométrica (m.g.): É a dimensão do espaço de autovetores (autoespaço) associado ao autovalor.
Para :
  • (pois temos apenas um autovetor independente)
Para :
  • (pois temos dois autovetores independentes)

Passo 15

Então, resumindo a parte ©:
  • Para :
  • Para :

Passo 16

Agora, vamos determinar os autoespaços e uma base de autovetores para cada (parte d).
  • Autoespaço para E2 = v in R^3 mid (A - 2I)v = 0 = Span 1 2 1 :
    1 2 1
    • Base: E1 = v in R^3 mid (A - I)v = 0 = Span 1 -1 0 , 0 2 1
  • Autoespaço para 1 -1 0 :
    0 2 1
    • Base:

Passo 17

Então, respondendo à parte (d):
  • Autoespaço para 1 2 1 :
    • Base: 1 -1 0
  • Autoespaço para 0 2 1 :
    • Base:

Passo 18

Agora, vamos encontrar uma base de autovetores para 1 2 1 , 1 -1 0 , 0 2 1 , se existir (parte e).
Como temos três autovetores lineares independentes (um para e dois para ), podemos formar uma base para com eles.
Portanto, a base seria:

Passo 19

Por fim, vamos verificar se o operador linear mg (lambda = 2) + mg (lambda = 1) = 1 + 2 = 3 é diagonalizável (parte f).
Um operador linear é diagonalizável se existir uma base de autovetores que forma um sistema linearmente independente para o espaço inteiro, ou seja, se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço (neste caso, 3).
No nosso caso:
Como isso é igual à dimensão de , o operador é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores de 1 2 1 são 1 -1 0 e 0 2 1 (com multiplicidade algébrica 2).
(b) Os autovetores associados a 1 2 1 são múltiplos de 1 -1 0 e, para 0 2 1 , combinações lineares de 1 2 1 e 1 -1 0 .
© A multiplicidade algébrica de 0 2 1 é 1 e a geométrica é 1; para , ambas as multiplicidades são 2.
(d) Os autoespaços são:
  • Para : base
  • Para : base
(e) Uma base de autovetores para é .
(f) O operador linear é diagonalizável, pois existe uma base completa de autovetores que cobre .

Exercícios relacionados