Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear definido por:
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores, autovetores, multiplicidades e diagonalização de operadores lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar matrizes, determinantes e conceitos de espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz . Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz:
Isso vai facilitar a aplicação das fórmulas para encontrar autovalores e autovetores.
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 (parte a), precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos calcular essa determinante.
Passo 4
Subtraímos A - lambda I = 2 - lambda & 1 & -2 2 & 3 - lambda & -4 1 & 1 & -1 - lambda nas diagonais de :
Agora, vamos determinar os autoespaços e uma base de autovetores para cada (parte d).
Autoespaço para E2 = v in R^3 mid (A - 2I)v = 0 = Span 1 2 1 :
1 2 1
Base: E1 = v in R^3 mid (A - I)v = 0 = Span 1 -1 0 , 0 2 1
Autoespaço para 1 -1 0 :
0 2 1
Base:
Passo 17
Então, respondendo à parte (d):
Autoespaço para 1 2 1 :
Base: 1 -1 0
Autoespaço para 0 2 1 :
Base:
Passo 18
Agora, vamos encontrar uma base de autovetores para 1 2 1 , 1 -1 0 , 0 2 1 , se existir (parte e).
Como temos três autovetores lineares independentes (um para e dois para ), podemos formar uma base para com eles.
Portanto, a base seria:
Passo 19
Por fim, vamos verificar se o operador linear mg (lambda = 2) + mg (lambda = 1) = 1 + 2 = 3 é diagonalizável (parte f).
Um operador linear é diagonalizável se existir uma base de autovetores que forma um sistema linearmente independente para o espaço inteiro, ou seja, se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço (neste caso, 3).
No nosso caso:
Como isso é igual à dimensão de , o operador é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores de 1 2 1 são 1 -1 0 e 0 2 1 (com multiplicidade algébrica 2).
(b) Os autovetores associados a 1 2 1 são múltiplos de 1 -1 0 e, para 0 2 1 , combinações lineares de 1 2 1 e 1 -1 0 .