Quais das transformações abaixo são lineares?
(m) T: M2 times 2(R) longrightarrow R, T(A)=det(A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos se a transformação , definida por , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como o determinante se comporta em relação a essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais para quaisquer matrizes em e para qualquer escalar :
  1. Adição:
  2. Escalonamento:

Passo 3

Agora, vamos verificar se o determinante atende a essas duas propriedades.
1. Verificando a adição:
Vamos ver se 1 & 0 0 & 1 para quaisquer matrizes 1 & 0 0 & 1 e 2 & 0 0 & 2.
Vamos escolher duas matrizes simples para testar:
1 & 0 0 & 1 e 2 & 0 0 & 2.
Então:
e , e .
Agora, e .
Como , concluímos que . Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita.
2. Verificando o escalonamento:
Vamos ver se para um escalar e uma matriz .
Escolha e .
Então:
e .
Agora, e .
Como , vemos que . Portanto, a propriedade do escalonamento também não é satisfeita.

Resposta

Como o determinante não satisfaz nem a propriedade da adição nem a do escalonamento, a transformação não é linear.

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