Quais das transformações abaixo são lineares?
(m)
.
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos se a transformação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como o determinante se comporta em relação a essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais para quaisquer matrizes
em
e para qualquer escalar
:
- Adição:
- Escalonamento:
Passo 3
Agora, vamos verificar se o determinante atende a essas duas propriedades.
1. Verificando a adição:
Vamos ver se para quaisquer matrizes
e
.
Vamos ver se
Vamos escolher duas matrizes simples para testar:
e
.
Então:
e
, e
.
Agora,
e
.
Como
, concluímos que
. Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita.
2. Verificando o escalonamento:
Vamos ver se para um escalar
e uma matriz
.
Vamos ver se
Escolha
e
.
Então:
e
.
Agora,
e
.
Como
, vemos que
. Portanto, a propriedade do escalonamento também não é satisfeita.
Resposta
Como o determinante não satisfaz nem a propriedade da adição nem a do escalonamento, a transformação
não é linear.