Dados os pontos A=(1,0), B=(2,4), C=(2,1) e a reta r: 3 x-2 y= 4, determine D in r tal que o vetor C D seja a projeção ortogonal do vetor A B sobre r.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos: , , e uma reta definida pela equação . O objetivo é encontrar o ponto que está na reta de tal forma que o vetor seja a projeção ortogonal do vetor sobre a reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, projeção de vetores e equações de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB = B - A = (2 - 1, 4 - 0) = (1, 4) . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta . A equação da reta é . Podemos reescrevê-la na forma , o que nos mostra que o coeficiente angular é . Portanto, um vetor diretor da reta é , já que para cada aumento de 2 em , aumenta 3 para manter o coeficiente angular.

Passo 4

A projeção ortogonal do vetor proju v = ( v cdot uu cdot u ) u sobre a reta é dada pela fórmula de projeção de um vetor sobre :
Aqui, e .

Passo 5

Calculamos o produto escalar v cdot u = (1)(2) + (4)(3) = 2 + 12 = 14 :
u cdot u = (2)^2 + (3)^2 = 4 + 9 = 13
E o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos a projeção:
proju v = ( 1413 ) (2, 3) = ( 2813, 4213 )
Então, o vetor deve ser igual a .

Passo 7

Sabemos que D = C + CD = ( 2 + 2813, 1 + 4213 ) = ( 5413, 5513 ) . Como , temos:

Resposta

O ponto está localizado em .

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