Dados os pontos e a reta 4, determine tal que o vetor seja a projeção ortogonal do vetor sobre .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos: , , e uma reta definida pela equação . O objetivo é encontrar o ponto que está na reta de tal forma que o vetor seja a projeção ortogonal do vetor sobre a reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, projeção de vetores e equações de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta . A equação da reta é . Podemos reescrevê-la na forma , o que nos mostra que o coeficiente angular é . Portanto, um vetor diretor da reta é , já que para cada aumento de 2 em , aumenta 3 para manter o coeficiente angular.

Passo 4

A projeção ortogonal do vetor sobre a reta é dada pela fórmula de projeção de um vetor sobre :
Aqui, e .

Passo 5

Calculamos o produto escalar :
E o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos a projeção:
Então, o vetor deve ser igual a .

Passo 7

Sabemos que . Como , temos:

Resposta

O ponto está localizado em .

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Considere as matrizes abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
Para cada matriz determine:
a) se o espaço-nulo está contido em , qual o valor de ?
Considere as matrizes abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
Para cada matriz determine:
b) se o espaço-colunas está contido em , qual o valor de ?
Seja a mediatriz do segmento , onde e . Determine pontos de modo que seja um quadrado.
Determine de modo que a projeção ortogonal do segmento sobre a reta seja o segmento , onde , e .