Seja
a mediatriz do segmento
, onde
e
. Determine pontos
de modo que
seja um quadrado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos,
e
. A mediatriz do segmento
, que chamaremos de
, é uma reta que corta o segmento
ao meio em ângulo reto. Nosso objetivo é encontrar dois pontos
e
que estão sobre essa mediatriz
de modo que os pontos
formem um quadrado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação da reta, mediatriz de um segmento e propriedades dos quadrados, como lados iguais e ângulos retos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a mediatriz
do segmento
. A mediatriz é a reta perpendicular ao segmento
e que passa pelo ponto médio de
.
Para encontrar o ponto médio
de
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta
para depois determinar a inclinação da mediatriz
. A inclinação
de uma reta que passa por dois pontos
e
é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 4
A mediatriz
é perpendicular a
, então a inclinação de
é o negativo do inverso da inclinação de
. Ou seja:
Passo 5
Agora que temos a inclinação
e um ponto por onde ela passa, que é o ponto médio
, podemos escrever a equação da mediatriz
usando a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Então, a equação da mediatriz
é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os pontos
e
sobre a reta
que, junto com
e
, formam um quadrado. Em um quadrado, todos os lados são iguais e os ângulos são retos.
Sabemos que
e
são dois vértices adjacentes do quadrado. Para encontrar
e
, vamos deslocar nos eixos
e
de maneira que mantenhamos as propriedades do quadrado.
Passo 7
Vamos considerar o lado
do quadrado. A distância entre
e
é:
Essa será a medida dos outros lados do quadrado.
Passo 8
Para encontrar
e
, precisamos mover perpendicularmente a partir de
e
na direção da mediatriz
. A inclinação de
é
, o que significa que a direção perpendicular a
será ao longo dessa mediatriz.
Vamos definir que
seja a partir de
na direção de
e
a partir de
na direção de
.
Passo 9
Para deslocar de
para
na direção da mediatriz
, usamos a inclinação
. Isso significa que para cada unidade que aumentamos em
, diminuímos uma unidade em
.
Como a distância deve ser
, e sabemos que no plano cartesiano, o deslocamento será igual em
e
, dividimos a distância por
para cada direção:
Então, a partir de
:
Passo 10
Da mesma forma, para encontrar
a partir de
, usamos o mesmo deslocamento:
Resposta
Os pontos
e
que satisfazem as condições da questão são
e
.