Dados os pontos A=(0,8), B=(-4,0) e C=(4,0), sejam r e s as retas tais que A, B in r e B, C in s. Considere P1 e P2 os pés das retas perpendiculares traçadas de P(5,3) às retas r e s, respectivamente. Obtenha a equação da reta à qual pertencem P1 e P2. R.: r: y+x-5=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Geometria Analítica, que é a parte da matemática que estuda as figuras geométricas usando um sistema de coordenadas. Neste problema, temos alguns pontos no plano cartesiano e precisamos achar equações de retas e projeções perpendiculares. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações de retas, determinação de retas perpendiculares e projeção de pontos sobre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as retas e que passam pelos pontos dados. A reta passa pelos pontos e , enquanto a reta passa por e .

Passo 3

Vamos achar a equação da reta y - y1 = y2 - y1x2 - x1(x - x1) que passa pelos pontos y - 8 = 0 - 8-4 - 0(x - 0) e y - 8 = -8-4x . Para isso, usamos a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos:
y - 8 = 2x
Substituindo os pontos:
y = 2x + 8
Rearranjando:
No entanto, a resposta fornecida diz que , o que sugere que pode haver um ajuste nos cálculos ou na interpretação dos pontos. Vamos verificar novamente.

Passo 4

Vamos recalcular a equação da reta m = yB - yAxB - xA = 0 - 8-4 - 0 = -8-4 = 2 com os pontos y = 2x + b e 8 = 2(0) + b Rightarrow b = 8 .
Primeiro, calculamos o coeficiente angular (m) da reta:
y = 2x + 8 ou 2x - y + 8 = 0
Então, a equação da reta na forma fica:
Usando o ponto para encontrar :
Portanto, a equação correta da reta é:
Parece que houve um erro na resposta fornecida. Vamos continuar com nosso cálculo correto.

Passo 5

Agora, vamos achar a equação da reta y = 0 ou y = 0 que passa pelos pontos e . Observamos que ambos os pontos têm a coordenada , o que significa que a reta é a reta horizontal no eixo .
Portanto, a equação da reta é:

Passo 6

Agora que temos as equações das retas x = b(bx0 - ay0) - a ca^2 + b^2 e y = a(-bx0 + ay0) - b ca^2 + b^2 , vamos encontrar os pés das perpendiculars do ponto x1 = (-1)(-1 cdot 5 - 2 cdot 3) - 2 cdot 82^2 + (-1)^2 = (-1)(-5 -6) -164 +1 = (-1)(-11) -165 = 11 -165 = -55 = -1 sobre essas retas, ou seja, encontrar y1 = 2(-(-1) cdot 5 + 2 cdot 3) - (-1) cdot 82^2 + (-1)^2 = 2(5 +6) +85 = 2 cdot11 +85 = 22 +85 = 305 = 6 e .
Primeiro, para achar , que é a projeção de sobre .
A fórmula para encontrar a projeção de um ponto sobre uma reta é:
Para a reta , temos , e .
Substituindo os valores:
Portanto, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar , a projeção de sobre a reta .
Como a reta é a horizontal , a projeção de sobre terá a mesma coordenada e .
Então, .

Passo 8

Agora que temos os pontos y - y1 = y2 - y1x2 - x1(x - x1) e y - 6 = 0 - 65 - (-1)(x - (-1)) , queremos achar a equação da reta que passa por esses dois pontos.
Usamos novamente a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos:
y - 6 = -66(x +1)
Substituindo os pontos y - 6 = -1(x +1) e y -6 = -x -1 :
y = -x +5
y + x -5 = 0
Portanto, a equação da reta que passa por e é:

Resposta

A equação da reta que contém os pontos e é .

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