Dados os pontos
e
, sejam
e
as retas tais que
e
. Considere
e
os pés das retas perpendiculares traçadas de
às retas
e
, respectivamente. Obtenha a equação da reta à qual pertencem
e
. R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Geometria Analítica, que é a parte da matemática que estuda as figuras geométricas usando um sistema de coordenadas. Neste problema, temos alguns pontos no plano cartesiano e precisamos achar equações de retas e projeções perpendiculares. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações de retas, determinação de retas perpendiculares e projeção de pontos sobre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as retas
e
que passam pelos pontos dados. A reta
passa pelos pontos
e
, enquanto a reta
passa por
e
.
Passo 3
Vamos achar a equação da reta
que passa pelos pontos
e
. Para isso, usamos a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos:
Substituindo os pontos:
Rearranjando:
No entanto, a resposta fornecida diz que
, o que sugere que pode haver um ajuste nos cálculos ou na interpretação dos pontos. Vamos verificar novamente.
Passo 4
Vamos recalcular a equação da reta
com os pontos
e
.
Primeiro, calculamos o coeficiente angular (m) da reta:
Então, a equação da reta
na forma
fica:
Usando o ponto
para encontrar
:
Portanto, a equação correta da reta
é:
Parece que houve um erro na resposta fornecida. Vamos continuar com nosso cálculo correto.
Passo 5
Agora, vamos achar a equação da reta
que passa pelos pontos
e
. Observamos que ambos os pontos têm a coordenada
, o que significa que a reta
é a reta horizontal no eixo
.
Portanto, a equação da reta
é:
Passo 6
Agora que temos as equações das retas
e
, vamos encontrar os pés das perpendiculars do ponto
sobre essas retas, ou seja, encontrar
e
.
Primeiro, para achar
, que é a projeção de
sobre
.
A fórmula para encontrar a projeção de um ponto
sobre uma reta
é:
Para a reta
, temos
,
e
.
Substituindo os valores:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
, a projeção de
sobre a reta
.
Como a reta
é a horizontal
, a projeção de
sobre
terá a mesma coordenada
e
.
Então,
.
Passo 8
Agora que temos os pontos
e
, queremos achar a equação da reta que passa por esses dois pontos.
Usamos novamente a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos:
Substituindo os pontos
e
:
Portanto, a equação da reta que passa por
e
é:
Resposta
A equação da reta que contém os pontos
e
é
.