Dados os pontos e , sejam e as retas tais que e . Considere e os pés das retas perpendiculares traçadas de às retas e , respectivamente. Obtenha a equação da reta à qual pertencem e . R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Geometria Analítica, que é a parte da matemática que estuda as figuras geométricas usando um sistema de coordenadas. Neste problema, temos alguns pontos no plano cartesiano e precisamos achar equações de retas e projeções perpendiculares. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações de retas, determinação de retas perpendiculares e projeção de pontos sobre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as retas e que passam pelos pontos dados. A reta passa pelos pontos e , enquanto a reta passa por e .

Passo 3

Vamos achar a equação da reta que passa pelos pontos e . Para isso, usamos a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos:
Substituindo os pontos:
Rearranjando:
No entanto, a resposta fornecida diz que , o que sugere que pode haver um ajuste nos cálculos ou na interpretação dos pontos. Vamos verificar novamente.

Passo 4

Vamos recalcular a equação da reta com os pontos e .
Primeiro, calculamos o coeficiente angular (m) da reta:
Então, a equação da reta na forma fica:
Usando o ponto para encontrar :
Portanto, a equação correta da reta é:
Parece que houve um erro na resposta fornecida. Vamos continuar com nosso cálculo correto.

Passo 5

Agora, vamos achar a equação da reta que passa pelos pontos e . Observamos que ambos os pontos têm a coordenada , o que significa que a reta é a reta horizontal no eixo .
Portanto, a equação da reta é:

Passo 6

Agora que temos as equações das retas e , vamos encontrar os pés das perpendiculars do ponto sobre essas retas, ou seja, encontrar e .
Primeiro, para achar , que é a projeção de sobre .
A fórmula para encontrar a projeção de um ponto sobre uma reta é:
Para a reta , temos , e .
Substituindo os valores:
Portanto, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar , a projeção de sobre a reta .
Como a reta é a horizontal , a projeção de sobre terá a mesma coordenada e .
Então, .

Passo 8

Agora que temos os pontos e , queremos achar a equação da reta que passa por esses dois pontos.
Usamos novamente a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos:
Substituindo os pontos e :
Portanto, a equação da reta que passa por e é:

Resposta

A equação da reta que contém os pontos e é .

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