Prove a relação de Euler, isto é, para quaisquer pontos A, B, C, D temos
A B cdot C D+A C cdot D B+A D cdot B C=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar a relação de Euler para vetores, que afirma que para quaisquer pontos AB cdot CD + AC cdot DB + AD cdot BC = 0 , a soma dos produtos escalares entre certos vetores é igual a zero. Ou seja:
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra vetorial, como definição de vetores entre pontos e propriedades do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar cada vetor em termos das posições dos pontos. Se considerarmos AB = B - A como os vetores posição dos pontos CD = D - C respectivamente, então:
AC = C - A
DB = B - D
AD = D - A
BC = C - B

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na expressão original:
(B - A) cdot (D - C) + (C - A) cdot (B - D) + (D - A) cdot (C - B) = 0
Vamos expandir cada um desses produtos escalares usando a distributiva do produto escalar:
(B cdot D - B cdot C - A cdot D + A cdot C) + (C cdot B - C cdot D - A cdot B + A cdot D) + (D cdot C - D cdot B - A cdot C + A cdot B) = 0

Passo 4

Agora, vamos rearranjar os termos para facilitar a visualização:
B cdot D - B cdot C - A cdot D + A cdot C + C cdot B - C cdot D - A cdot B + A cdot D + D cdot C - D cdot B - A cdot C + A cdot B = 0

Passo 5

Agora, vamos observar que muitos termos se cancelam:
  • e se anulam.
  • e se anulam.
  • e se anulam.
  • e (porque o produto escalar é comutativo, ou seja, ) se anulam.
  • e se anulam.
  • e se anulam.

Passo 6

Após o cancelamento de todos os termos, restamos com:
0 = 0
Isso confirma que a relação de Euler está válida.

Resposta

Portanto, provamos que:
AB cdot CD + AC cdot DB + AD cdot BC = 0

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