Prove a relação de Euler, isto é, para quaisquer pontos temos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar a relação de Euler para vetores, que afirma que para quaisquer pontos , a soma dos produtos escalares entre certos vetores é igual a zero. Ou seja:
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra vetorial, como definição de vetores entre pontos e propriedades do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar cada vetor em termos das posições dos pontos. Se considerarmos como os vetores posição dos pontos respectivamente, então:

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na expressão original:
Vamos expandir cada um desses produtos escalares usando a distributiva do produto escalar:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar os termos para facilitar a visualização:

Passo 5

Agora, vamos observar que muitos termos se cancelam:
  • e se anulam.
  • e se anulam.
  • e se anulam.
  • e (porque o produto escalar é comutativo, ou seja, ) se anulam.
  • e se anulam.
  • e se anulam.

Passo 6

Após o cancelamento de todos os termos, restamos com:
Isso confirma que a relação de Euler está válida.

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Considere o triângulo de vértices e . O ponto do triângulo em que se interceptam as três medianas (segmentos ligando um vértice ao ponto médio de seu lado oposto) é chamado baricentro. Determine as coordenadas do baricentro de ;
Determine o valor dos determinantes:
a)
b)
c)
d)
Determine tal que:
a)
Dados os pontos e , sejam e as retas tais que e . Considere e os pés das retas perpendiculares traçadas de às retas e , respectivamente. Obtenha a equação da reta à qual pertencem e . R.: