Prove a relação de Euler, isto é, para quaisquer pontos temos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar a relação de Euler para vetores, que afirma que para quaisquer pontos , a soma dos produtos escalares entre certos vetores é igual a zero. Ou seja:
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra vetorial, como definição de vetores entre pontos e propriedades do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar cada vetor em termos das posições dos pontos. Se considerarmos como os vetores posição dos pontos respectivamente, então:
Passo 3
Agora, vamos substituir esses valores na expressão original:
Vamos expandir cada um desses produtos escalares usando a distributiva do produto escalar:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar os termos para facilitar a visualização:
Passo 5
Agora, vamos observar que muitos termos se cancelam:
e se anulam.
e se anulam.
e se anulam.
e (porque o produto escalar é comutativo, ou seja, ) se anulam.
e se anulam.
e se anulam.
Passo 6
Após o cancelamento de todos os termos, restamos com: