• Dados os pontos A(4,0,-1), B(2,-2,1) e C(1,3,2) e os vetores u=(2,1,1) e v=(-1,-2,3), obter o vetor x tal que
    3 x+2 v=x+(A B cdot u) v

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos os pontos 3x + 2v = x + (AB cdot u)v , , e , além dos vetores e . Precisamos encontrar o vetor que satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como vetor posição, subtração de vetores e produto escalar.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor AB = B - A = (2-4, -2-0, 1-(-1)) = (-2, -2, 2) . Isso significa subtrair as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto escalar a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 . O produto escalar de dois vetores AB cdot u = (-2)(2) + (-2)(1) + (2)(1) = -4 -2 +2 = -4 e é dado por:
Aplicando isso:

Passo 4

Com o valor do produto escalar, substituímos na equação original:
3x + 2v = x + (-4)v
Simplificando os termos:
3x + 2v = x -4v

Passo 5

Vamos isolar o vetor 3x - x + 2v = -4v . Primeiro, subtraímos 2x + 2v = -4v de ambos os lados:
2x = -6v
Isso resulta em:
x = -3v
Agora, subtraímos de ambos os lados:
Finalmente, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, substituímos o valor de x = -3(-1, -2, 3) = (3, 6, -9) na expressão para :

Resposta

O vetor é .

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