Dados os pontos e e os vetores e , obter o vetor tal que
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos os pontos 3x + 2v = x + (AB cdot u)v , , e , além dos vetores e . Precisamos encontrar o vetor que satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como vetor posição, subtração de vetores e produto escalar.
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor AB = B - A = (2-4, -2-0, 1-(-1)) = (-2, -2, 2) . Isso significa subtrair as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o produto escalar a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 . O produto escalar de dois vetores AB cdot u = (-2)(2) + (-2)(1) + (2)(1) = -4 -2 +2 = -4 e é dado por:
Aplicando isso:
Passo 4
Com o valor do produto escalar, substituímos na equação original:
3x + 2v = x + (-4)v
Simplificando os termos:
3x + 2v = x -4v
Passo 5
Vamos isolar o vetor 3x - x + 2v = -4v . Primeiro, subtraímos 2x + 2v = -4v de ambos os lados:
2x = -6v
Isso resulta em:
x = -3v
Agora, subtraímos de ambos os lados:
Finalmente, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 6
Agora, substituímos o valor de x = -3(-1, -2, 3) = (3, 6, -9) na expressão para :