Dados os vetores a=(2,1, alpha), b=(alpha+2,-5,2) e c=(2 alpha, 8, alpha), determinar o valor de alpha para que o vetor a+b seja ortogonal ao vetor c-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores: a = (2, 1, alpha), b = (alpha + 2, -5, 2) e c = (2alpha, 8, alpha). A missão é encontrar o valor de alpha que faz com que a soma dos vetores a + b seja ortogonal ao vetor c - a. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a condição de ortogonalidade que diz que o produto escalar entre vetores ortogonais é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma dos vetores a + b. Somando componente por componente:
a + b = (2 + (alpha + 2), 1 + (-5), alpha + 2) = (alpha + 4, -4, alpha + 2)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a diferença entre os vetores c - a:
c - a = (2alpha - 2, 8 - 1, alpha - alpha) = (2alpha - 2, 7, 0)

Passo 4

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deles precisa ser igual a zero. O produto escalar de dois vetores (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) é dado por:
(x1 cdot x2) + (y1 cdot y2) + (z1 cdot z2)
Aplicando isso aos vetores que encontramos:
(alpha + 4)(2alpha - 2) + (-4)(7) + (alpha + 2)(0) = 0

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
(alpha + 4)(2alpha - 2) - 28 = 0
Primeiro, distribuindo:
2alpha^2 - 2alpha + 8alpha - 8 - 28 = 0
Simplificando os termos:
2alpha^2 + 6alpha - 36 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
alpha^2 + 3alpha - 18 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
alpha = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, a = 1, b = 3, e c = -18:
De
Então:
alpha = -3 pm raiz812 = -3 pm 92
Isso dá duas soluções:
alpha = 62 = 3 ou alpha = -122 = -6

Resposta

O valor de alpha pode ser 3 ou -6.

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