Dados os vetores
e
, determinar o valor de
para que o vetor
seja ortogonal ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores:
,
e
. A missão é encontrar o valor de
que faz com que a soma dos vetores
seja ortogonal ao vetor
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a condição de ortogonalidade que diz que o produto escalar entre vetores ortogonais é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a soma dos vetores
. Somando componente por componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a diferença entre os vetores
:
Passo 4
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deles precisa ser igual a zero. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos vetores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Primeiro, distribuindo:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde,
,
, e
:
Então:
Isso dá duas soluções:
Resposta
O valor de
pode ser
ou
.