Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é verificar se essas quatro matrizes de com números reais conseguem “gerar” todo o espaço vetorial . Isso significa que queremos saber se, combinando essas matrizes de diferentes maneiras (soma e multiplicação por escalares), conseguimos formar qualquer matriz possível. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 4. Ou seja, precisamos de 4 matrizes que sejam linearmente independentes para garantir que elas possam gerar todo o espaço. Se conseguirmos mostrar que essas quatro matrizes são independentes, então elas geram .
Passo 3
A independência linear significa que se tivermos uma combinação linear dessas matrizes igual a matriz zero, os únicos coeficientes que resolvem isso são todos zero. Vamos escrever isso matematicamente:
[
a
+
b
+
c
+
d
]
Passo 4
Agora, vamos somar as matrizes lado a lado:
[
]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação: d + (-d) + 2d = 0 Rightarrow 2d = 0 Rightarrow d = 0 .
Da terceira equação: .
Substituindo e na primeira equação: .
Agora, substituindo e na quarta equação:
Então, , , , e .
Passo 6
Como a única solução para o sistema é , isso significa que as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
Sim, as quatro matrizes fornecidas geram todo o espaço vetorial .