Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2(R) :
(ll 1 & 0 0 & 1 ),(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 1 ),(ll 0 & 1 1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é verificar se essas quatro matrizes de com números reais conseguem “gerar” todo o espaço vetorial . Isso significa que queremos saber se, combinando essas matrizes de diferentes maneiras (soma e multiplicação por escalares), conseguimos formar qualquer matriz possível. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 4. Ou seja, precisamos de 4 matrizes que sejam linearmente independentes para garantir que elas possam gerar todo o espaço. Se conseguirmos mostrar que essas quatro matrizes são independentes, então elas geram .

Passo 3

A independência linear significa que se tivermos uma combinação linear dessas matrizes igual a matriz zero, os únicos coeficientes que resolvem isso são todos zero. Vamos escrever isso matematicamente:

[
a a 1 & 0 0 & 1 + b 1 & 1 0 & 0 + c 0 & 0 1 & 1 + d 0 & 1 1 & 2 = 0 & 0 0 & 0
+
b
+
c
+
d


]

Passo 4

Agora, vamos somar as matrizes lado a lado:

[
a + b & b + d c + d & a + c + 2d = 0 & 0 0 & 0

a + b = 0 b + d = 0 c + d = 0 a + c + 2d = 0
]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: d + (-d) + 2d = 0 Rightarrow 2d = 0 Rightarrow d = 0 .
  2. Da terceira equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .
  4. Agora, substituindo e na quarta equação:
Então, , , , e .

Passo 6

Como a única solução para o sistema é , isso significa que as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

Sim, as quatro matrizes fornecidas geram todo o espaço vetorial .

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