Dados os pontos A(4,0,-1), B(2,-2,1) e C(1,3,2) e os vetores u=(2,1,1) e v=(-1,-2,3), obter o vetor x tal que: 3 x+2 v=x+(AB cdot u) v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço, A, B e C, e dois vetores, u e v. A missão é encontrar o vetor x que satisfaz a equação:
3 x + 2 v = x + (AB cdot u) v
Para isso, vamos precisar saber como lidar com vetores, operações de vetor como subtração e soma, e calcular o produto escalar (ou dot product). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é AB = B - A = (2 - 4,, -2 - 0,, 1 - (-1)) = (-2,, -2,, 2) . Isso é um vetor que vai do ponto A para o ponto B. Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto escalar entre AB cdot u = (-2)(2) + (-2)(1) + (2)(1) = -4 - 2 + 2 = -4 e . O produto escalar é dado por:

Passo 4

Vamos substituir esse valor na equação original. Ficou assim:
3 x + 2 v = x + (-4) v
Agora, nosso objetivo é isolar .

Passo 5

Vamos trazer todas as expressões com 3 x - x = -4 v - 2 v para um lado da equação e as que têm 2 x = -6 v para o outro lado. Fazendo isso, temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, para encontrar x = -6 v2 = -3 v , vamos dividir ambos os lados por 2:

Passo 7

Por fim, sabemos que x = -3 times (-1, -2, 3) = (3, 6, -9) . Então, multiplicando esse vetor por -3, temos:

Resposta

O vetor é .

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