Dados os pontos e e os vetores e , obter o vetor tal que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço, A, B e C, e dois vetores, u e v. A missão é encontrar o vetor x que satisfaz a equação:
3 x + 2 v = x + (AB cdot u) v
Para isso, vamos precisar saber como lidar com vetores, operações de vetor como subtração e soma, e calcular o produto escalar (ou dot product). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é AB = B - A = (2 - 4,, -2 - 0,, 1 - (-1)) = (-2,, -2,, 2) . Isso é um vetor que vai do ponto A para o ponto B. Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o produto escalar entre AB cdot u = (-2)(2) + (-2)(1) + (2)(1) = -4 - 2 + 2 = -4 e . O produto escalar é dado por:
Passo 4
Vamos substituir esse valor na equação original. Ficou assim:
3 x + 2 v = x + (-4) v
Agora, nosso objetivo é isolar .
Passo 5
Vamos trazer todas as expressões com 3 x - x = -4 v - 2 v para um lado da equação e as que têm 2 x = -6 v para o outro lado. Fazendo isso, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, para encontrar x = -6 v2 = -3 v , vamos dividir ambos os lados por 2:
Passo 7
Por fim, sabemos que x = -3 times (-1, -2, 3) = (3, 6, -9) . Então, multiplicando esse vetor por -3, temos: