Dados os pontos A(4,0,-1), B(2,-2,1) e C(1,3,2) e os vetores u=(2,1,1) e v=(-1,-2,3), obter o vetor x tal que:
(BC cdot v) x=(u cdot v) v-3 x

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: A(4,0,-1), B(2,-2,1) e C(1,3,2). Também temos dois vetores: u = (2,1,1) e v = (-1,-2,3). A tarefa é encontrar o vetor x que satisfaz a equação:
(BC cdot v) x = (u cdot v) v - 3 x
Vamos precisar usar conceitos de vetores, como a diferença entre pontos para encontrar BC, o produto escalar (ou ponto) entre vetores, e a resolução de equações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor BC. Para isso, subtraímos as coordenadas de B das coordenadas de C:
BC = C - B = (1-2, 3-(-2), 2-1) = (-1, 5, 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar BC cdot v. O produto escalar de dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é dado por:
BC cdot v = (-1)(-1) + (5)(-2) + (1)(3) = 1 - 10 + 3 = -6

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (2)(-1) + (1)(-2) + (1)(3) = -2 -2 + 3 = -1

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na equação original:
(-6) x = (-1) v - 3 x
Vamos reorganizar para isolar x. Primeiro, somamos 3 x em ambos os lados:
-6 x + 3 x = -v
-3 x = -v

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
3 x = v
Agora, isolamos x dividindo por 3:
x = 13 v

Passo 7

Sabemos que v = (-1,-2,3), então:
x = ( -13, -23, 33 ) = ( -13, -23, 1 )

Resposta

O vetor x é ( -dfrac13,, -dfrac23, 1 ).

Exercícios relacionados