Dados os pontos e e os vetores e , obter o vetor tal que:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: A(4,0,-1), B(2,-2,1) e C(1,3,2). Também temos dois vetores: u = (2,1,1) e v = (-1,-2,3). A tarefa é encontrar o vetor x que satisfaz a equação:
(BC cdot v) x = (u cdot v) v - 3 x
Vamos precisar usar conceitos de vetores, como a diferença entre pontos para encontrar BC, o produto escalar (ou ponto) entre vetores, e a resolução de equações vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor BC. Para isso, subtraímos as coordenadas de B das coordenadas de C:
BC = C - B = (1-2, 3-(-2), 2-1) = (-1, 5, 1)
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar BC cdot v. O produto escalar de dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é dado por:
BC cdot v = (-1)(-1) + (5)(-2) + (1)(3) = 1 - 10 + 3 = -6
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (2)(-1) + (1)(-2) + (1)(3) = -2 -2 + 3 = -1
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na equação original:
(-6) x = (-1) v - 3 x
Vamos reorganizar para isolar x. Primeiro, somamos 3 x em ambos os lados:
-6 x + 3 x = -v
-3 x = -v
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar: