Dados os pontos A(-1,2,3) e B(4,-2,0), determinar o ponto P tal que A P=3 B A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos dois pontos no espaço, e . Precisamos encontrar um terceiro ponto tal que o vetor de para , denotado por , seja igual a três vezes o vetor de para , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor BA = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2) . O vetor entre dois pontos BA = (-1 - 4, 2 - (-2), 3 - 0) = (-5, 4, 3) e é dado por:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

Agora, queremos que AP = 3 times (-5, 4, 3) = (-15, 12, 9) . Isso significa que o vetor será três vezes o vetor :

Passo 4

O vetor AP = (xP - xA, yP - yA, zP - zA) também pode ser expresso como:
(xP - (-1), yP - 2, zP - 3) = (-15, 12, 9)
Onde é o ponto que queremos encontrar. Igualando os dois vetores:

Passo 5

Agora, vamos resolver para cada coordenada:
xP + 1 = -15 Rightarrow xP = -16
yP - 2 = 12 Rightarrow yP = 14
zP - 3 = 9 Rightarrow zP = 12

Resposta

O ponto é .

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