Uma haste com comprimento L oscila como um pendulo físico, com eixo no ponto O. (a) deduza uma expressão para o período do pendulo em termos de L e x, a distância do ponto de suspensão ao centro de massa do pendulo. (b) Para qual valor de x/Lo período e mínimo? © Mostre que, se L=1,00 m e g =9,80 m / s^2, este mínimo é 1,53 s.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma haste que está oscilando como um pêndulo físico. O comprimento da haste é e o ponto de suspensão é O. A gente precisa descobrir três coisas:
a) Uma fórmula para o período do pêndulo em função de e , que é a distância do ponto O até o centro de massa da haste.
b) Para qual valor de o período é mínimo.
c) Mostrar que, se e , esse período mínimo é .
Vamos precisar usar conceitos de pêndulo físico e momentos de inércia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos deduzir a expressão para o período T = 2pi raizImgh do pêndulo físico. O período de um pêndulo físico é dado por:
Icm = 112mL^2
Aqui, I = 112mL^2 + mx^2 é o momento de inércia da haste em relação ao ponto O, T = 2pi raiz112mL^2 + mx^2mgx = 2pi raiz112L^2 + x^2gx é a massa da haste, T = 2pi raizL^2 + 12x^212gx é a aceleração da gravidade, e é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa, que no nosso caso é .
Para uma haste de comprimento , o momento de inércia em relação ao centro de massa é:
Usando o teorema de Steiner, que nos diz que , temos:
Substituindo na fórmula do período:
Então, a expressão para o período é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar para qual valor de T = 2pi raizL^2 + 12x^212gx o período T = 2pi raizL^2 + 12(kL)^212g(kL) é mínimo. Para isso, vamos considerar a expressão que encontramos:
T = 2pi raizL^2 + 12k^2L^212gkL = 2pi raizL^2(1 + 12k^2)12gkL = 2pi raizL(1 + 12k^2)12gk
Vamos simplificar substituindo dTdk = 0 , onde k = xL = 12raiz3 approx 0,2887 é uma constante. Então, .
Substituindo na equação do período:
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Após derivar e resolver, encontramos que o valor de que minimiza é:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o período mínimo usando T = 2pi raizL(1 + 12k^2)12gk e T = 2pi raiz1(1 + 12(12raiz3)^2)12 times 9,80 times 12raiz3 .
Usando a expressão simplificada:
T = 2pi raiz1 + 12 times 11212 times 9,80 times 12raiz3 = 2pi raiz212 times 9,80 times 12raiz3
Substituindo T = 2pi raiz26 times 9,80 / raiz3 = 2pi raiz2raiz358,8 approx 1,53 , s :

Resposta

O período mínimo é .

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