Então, vamos lá! A gente tem uma haste que está oscilando como um pêndulo físico. O comprimento da haste é e o ponto de suspensão é O. A gente precisa descobrir três coisas:
a) Uma fórmula para o período do pêndulo em função de e , que é a distância do ponto O até o centro de massa da haste.
b) Para qual valor de o período é mínimo.
c) Mostrar que, se e , esse período mínimo é .
Vamos precisar usar conceitos de pêndulo físico e momentos de inércia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos deduzir a expressão para o período do pêndulo físico. O período de um pêndulo físico é dado por:
Aqui, é o momento de inércia da haste em relação ao ponto O, é a massa da haste, é a aceleração da gravidade, e é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa, que no nosso caso é .
Para uma haste de comprimento , o momento de inércia em relação ao centro de massa é:
Usando o teorema de Steiner, que nos diz que , temos:
Substituindo na fórmula do período:
Então, a expressão para o período é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar para qual valor de o período é mínimo. Para isso, vamos considerar a expressão que encontramos:
Vamos simplificar substituindo , onde é uma constante. Então, .
Substituindo na equação do período:
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Após derivar e resolver, encontramos que o valor de que minimiza é:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular o período mínimo usando e .