Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD , para: A(-3,-1), B(4,2) e C(5,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um paralelogramo chamado ABCD, onde os pontos A, B e C estão nas coordenadas A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5). Nosso objetivo é encontrar o ponto D, que é o vértice oposto a B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto onde as diagonais se cruzam é o ponto médio de cada diagonal. Então, se encontrarmos o ponto médio da diagonal AC, esse será o mesmo ponto médio da diagonal BD.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto médio da diagonal AC. A fórmula para o ponto médio entre dois pontos M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) e M = ( -3 + 52, -1 + 52 ) = ( 22, 42 ) = (1, 2) é:
Aplicando isso aos pontos A(-3, -1) e C(5, 5):
Então, o ponto médio M das diagonais é (1, 2).

Passo 4

Agora, sabemos que M também é o ponto médio da diagonal BD. Sabemos as coordenadas de B(4, 2) e queremos encontrar D(x, y). Usando a fórmula do ponto médio novamente:
M = ( 4 + x2, 2 + y2 ) = (1, 2)
Isso nos dá duas equações:
4 + x2 = 1 e 2 + y2 = 2

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar x e y.
Para a primeira equação:
4 + x2 = 1 4 + x = 2 (mu
Para a segunda equação:
2 + y2 = 2 2 + y = 4 (mu

Resposta

Portanto, o ponto D, vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, tem as coordenadas .

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