Uma polia uniforme de massa e raio de fixada por um eixo horizontal move um corpo de massa suspenso por uma corda de massa desprezível. Determine a aceleração angular da polia e tensão na corda. A corda não desliza e não tem atrito no eixo.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma polia que está segurando um peso. Temos que calcular a aceleração angular da polia e a tensão na corda. Estamos lidando com dinâmica rotacional aqui. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, torque e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A polia tem uma massa e um raio . Ela está segurando um corpo de massa com uma corda que não desliza e sem atrito no eixo. Queremos descobrir quanta aceleração angular a polia tem e qual é a tensão na corda.

Passo 3

Vamos começar calculando o momento de inércia da polia. O momento de inércia ( ) é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra a mudança de sua rotação. Para uma polia uniforme, o momento de inércia é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos pensar nas forças atuando no sistema. O peso do corpo ( ) está puxando a corda para baixo, criando uma força que faz a polia girar. A tensão na corda ( ) é a força que precisamos encontrar.
A segunda lei de Newton para rotação nos diz que o torque ( ) é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular ( ):
O torque causado pela tensão é:
Então:

Passo 5

Além disso, para o corpo que está sendo puxado pela corda, a segunda lei de Newton na direção vertical nos dá:
Onde é a aceleração linear do corpo. Mas como a corda não desliza, a aceleração linear está relacionada com a aceleração angular pela relação:

Passo 6

Agora temos duas equações:
Vamos substituir e resolver para .
Substituindo e na primeira equação:

Passo 7

Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 8

Vamos somar nos dois lados para isolar os termos com :
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 9

Agora que temos , vamos encontrar a tensão :

Resposta

A aceleração angular da polia é aproximadamente e a tensão na corda é de .

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