Dados os pontos A(2,3) e B(5,4), determine um ponto C tal que A C seja paralelo ao vetor u=(2,1) e |A C|=|A B|.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar um ponto que satisfaça duas condições: o vetor deve ser paralelo a um vetor dado e o comprimento de deve ser igual ao comprimento de . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, paralelismo e cálculo de módulo de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor AB = (xB - xA, yB - yA) = (5 - 2, 4 - 3) = (3, 1) . Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor |v| = raizvx^2 + vy^2 . A fórmula do módulo de um vetor |AB| = raiz3^2 + 1^2 = raiz9 + 1 = raiz10 é:
Aplicando isso ao :

Passo 4

Sabemos que o vetor AC = k cdot u = (2k, 1k) = (2k, k) deve ser paralelo ao vetor . Vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Então, podemos escrever:
Aqui, é o escalar que precisamos determinar.

Passo 5

Também sabemos que o módulo de |AC| = |AB| Rightarrow raiz(2k)^2 + (k)^2 = raiz10 deve ser igual ao módulo de raiz4k^2 + k^2 = raiz10 Rightarrow raiz5k^2 = raiz10 . Então:
k raiz5 = raiz10 Rightarrow k = raiz10raiz5 = raiz2
Simplificando a equação:

Passo 6

Agora que temos o valor de C = (xA + 2k, yA + k) = (2 + 2raiz2,, 3 + raiz2) , podemos encontrar as coordenadas de . Sabendo que e , as coordenadas de são:

Resposta

O ponto que satisfaz as condições é .

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