Dados A(2, y) e B(3,3), determine y para que o módulo do vetor A B seja raiz5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos, e , e precisa descobrir o valor de de forma que o módulo do vetor seja . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nos ajuda a encontrar a magnitude do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos e . O ponto tem coordenadas e o ponto tem coordenadas .

Passo 3

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é:
Essa fórmula nos dá o módulo do vetor .

Passo 4

Vamos aplicar os valores dos pontos d = raiz(3 - 2)^2 + (3 - y)^2 e d = raiz1^2 + (3 - y)^2 = raiz1 + (3 - y)^2 na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que o módulo raiz1 + (3 - y)^2 = raiz5 deve ser igual a 1 + (3 - y)^2 = 5 . Então, igualamos as expressões:
Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação:
(3 - y)^2 = 5 - 1 (3 - y)^2 = 4
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
3 - y = pm 2

Passo 7

Vamos resolver para em cada caso:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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