Dados os pontos A=(1,2,1) e B=(3,0,-1), verifique se são concorrentes as retas over<=ftrightarrowA B e r: X=(4,1,0)+lambda(1,1,1) (para lambda in R ). Se forem, determine o ponto de interseção.

Passo 1

Então, a gente tem dois pontos no espaço: e . Queremos saber se a reta que passa por esses dois pontos, chamada de , cruza com outra reta que está definida pela equação , onde é um número real. Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente as equações paramétricas das retas, e ver se encontramos um ponto que está nas duas retas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta X = A + t(B - A) . Sabemos que para dois pontos B - A = (3 - 1, 0 - 2, -1 - 1) = (2, -2, -2) e X = (1, 2, 1) + t(2, -2, -2) , a equação paramétrica é dada por:
x = 1 + 2t
onde y = 2 - 2t é um parâmetro real. Calculando z = 1 - 2t :
Então, a equação da reta fica:
Ou separando as coordenadas:

Passo 3

Agora, temos as equações paramétricas das duas retas:
Para x = 1 + 2t :
y = 2 - 2t
z = 1 - 2t
x = 4 + lambda
Para y = 1 + lambda :
z = 0 + lambda
lambda = 1 - 2t
1 + 2t = 4 + (1 - 2t) implies 1 + 2t = 5 - 2t implies 4t = 4 implies t = 1
Queremos encontrar se existe um par de valores lambda = 1 - 2(1) = -1 e 2 - 2(1) = 1 + (-1) implies 0 = 0 que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo. Então, vamos igualar as coordenadas:
Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, usando na expressão de :
Vamos verificar se isso satisfaz a segunda equação:
Tudo confere!

Resposta

As retas e são concorrentes e se cruzam no ponto .

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