Dados os pontos
e
, verifique se são concorrentes as retas
e
(para
). Se forem, determine o ponto de interseção.
Passo 1
Então, a gente tem dois pontos no espaço:
e
. Queremos saber se a reta que passa por esses dois pontos, chamada de
, cruza com outra reta
que está definida pela equação
, onde
é um número real. Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente as equações paramétricas das retas, e ver se encontramos um ponto que está nas duas retas ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta
. Sabemos que para dois pontos
e
, a equação paramétrica é dada por:
onde
é um parâmetro real. Calculando
:
Então, a equação da reta
fica:
Ou separando as coordenadas:
Passo 3
Agora, temos as equações paramétricas das duas retas:
Para
:
Para
:
Queremos encontrar se existe um par de valores
e
que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo. Então, vamos igualar as coordenadas:
Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, usando
na expressão de
:
Vamos verificar se isso satisfaz a segunda equação:
Tudo confere!
Resposta
As retas
e
são concorrentes e se cruzam no ponto
.
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Determine se o conjunto de vetores em
é linearmente independente ou linearmente dependente:
Encontre as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos
e
Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em
:
Encontre a equação reduzida da parábola, foco e diretriz. Com eixo paralelo ao do y. Com vértice em
e que passa por
, 3)