Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores
são linearmente independentes no espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação dos outros. Vamos precisar montar uma equação que iguala esses vetores a zero e ver se a única solução é quando todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma combinação linear dos vetores igual a zero:
Aqui,
,
e
são coeficientes que precisamos encontrar. Nosso objetivo é ver se a única solução para essa equação é
.
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de
, os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
-
Da segunda equação:
-
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Observamos que
e
podem ser expressos em termos de
. Isso significa que existe uma solução não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero). Por exemplo, se escolhermos
, então
e
.
Passo 7
Como encontramos uma solução onde
,
e
não são todos zero, isso indica que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes em
.