Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em P3 :
1, x^2, x^2-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores 1, x^2, x^2-3 são linearmente independentes no espaço P3, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação dos outros. Vamos precisar montar uma equação que iguala esses vetores a zero e ver se a única solução é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma combinação linear dos vetores igual a zero:
c1 cdot 1 + c2 cdot x^2 + c3 cdot (x^2 - 3) = 0
Aqui, c1, c2 e c3 são coeficientes que precisamos encontrar. Nosso objetivo é ver se a única solução para essa equação é c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
c1 cdot 1 + c2 cdot x^2 + c3 cdot x^2 - 3c3 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
c1 - 3c3 + (c2 + c3)x^2 = 0

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 - 3c3 = 0 c2 + c3 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: c2 + c3 = 0 Rightarrow c2 = -c3
  2. Substituindo c2 = -c3 na primeira equação:
    c1 - 3c3 = 0 Rightarrow c1 = 3c3

Passo 6

Observamos que c1 e c2 podem ser expressos em termos de c3. Isso significa que existe uma solução não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero). Por exemplo, se escolhermos c3 = 1, então c1 = 3 e c2 = -1.

Passo 7

Como encontramos uma solução onde c1, c2 e c3 não são todos zero, isso indica que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores 1, x^2, x^2-3 são linearmente dependentes em P3.

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