Encontre a equação reduzida da parábola, foco e diretriz. Com eixo paralelo ao do y. Com vértice em e que passa por , 3)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos precisar. A gente precisa encontrar:
Equação reduzida da parábola: A forma simplificada da equação da parábola.
Foco e diretriz: Ponto focal e linha diretriz que definem a parábola.
Sabemos que a parábola tem eixo paralelo ao do y, o que significa que sua abertura é para cima ou para baixo. O vértice da parábola é dado por e ela passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar a forma padrão da equação da parábola com eixo paralelo ao y, que envolve a utilização de fórmulas específicas para encontrar os parâmetros necessários.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a forma padrão da equação de uma parábola com eixo paralelo ao y:
Aqui, é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco (se , a abertura é para a direita; se , é para a esquerda).
No nosso caso, o vértice corresponde a e . Substituindo esses valores na equação padrão, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, usamos o ponto , que está na parábola.
Passo 3
Vamos substituir as coordenadas do ponto na equação que montamos:
Simplificando:
Então, o valor de é .
Passo 4
Com o valor de encontrado, podemos escrever a equação reduzida da parábola substituindo na equação anterior:
Portanto, a equação reduzida da parábola é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A fórmula para o foco em uma parábola com eixo paralelo ao y é:
Substituindo , e :
Passo 6
Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo da parábola e localizada a uma distância do vértice, no sentido oposto ao foco.