Encontre a equação reduzida da parábola, foco e diretriz. Com eixo paralelo ao do y. Com vértice em
e que passa por
, 3)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos precisar. A gente precisa encontrar:
- Equação reduzida da parábola: A forma simplificada da equação da parábola.
- Foco e diretriz: Ponto focal e linha diretriz que definem a parábola.
Sabemos que a parábola tem eixo paralelo ao do y, o que significa que sua abertura é para cima ou para baixo. O vértice da parábola é dado por
e ela passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar a forma padrão da equação da parábola com eixo paralelo ao y, que envolve a utilização de fórmulas específicas para encontrar os parâmetros necessários.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a forma padrão da equação de uma parábola com eixo paralelo ao y:
Aqui,
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice ao foco (se
, a abertura é para a direita; se
, é para a esquerda).
No nosso caso, o vértice
corresponde a
e
. Substituindo esses valores na equação padrão, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, usamos o ponto
, que está na parábola.
Passo 3
Vamos substituir as coordenadas do ponto
na equação que montamos:
Simplificando:
Então, o valor de
é
.
Passo 4
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a equação reduzida da parábola substituindo
na equação anterior:
Portanto, a equação reduzida da parábola é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A fórmula para o foco em uma parábola com eixo paralelo ao y é:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo da parábola e localizada a uma distância
do vértice, no sentido oposto ao foco.
A equação da diretriz é dada por:
Substituindo
e
:
Resposta
- Equação reduzida da parábola:
- Foco:
- Diretriz: