Encontre a equação reduzida da parábola, foco e diretriz. Com eixo paralelo ao do y. Com vértice em V(1,2) e que passa por P(2, 3)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos precisar. A gente precisa encontrar:
  1. Equação reduzida da parábola: A forma simplificada da equação da parábola.
  2. Foco e diretriz: Ponto focal e linha diretriz que definem a parábola.
Sabemos que a parábola tem eixo paralelo ao do y, o que significa que sua abertura é para cima ou para baixo. O vértice da parábola é dado por e ela passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar a forma padrão da equação da parábola com eixo paralelo ao y, que envolve a utilização de fórmulas específicas para encontrar os parâmetros necessários.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a forma padrão da equação de uma parábola com eixo paralelo ao y:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Aqui, (y - 2)^2 = 4p(x - 1) é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco (se , a abertura é para a direita; se , é para a esquerda).
No nosso caso, o vértice corresponde a e . Substituindo esses valores na equação padrão, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, usamos o ponto , que está na parábola.

Passo 3

Vamos substituir as coordenadas do ponto (3 - 2)^2 = 4p(2 - 1) na equação que montamos:
1^2 = 4p(1) 1 = 4p p = 14
Simplificando:
Então, o valor de é .

Passo 4

Com o valor de (y - 2)^2 = 4 cdot 14 (x - 1) (y - 2)^2 = (x - 1) encontrado, podemos escrever a equação reduzida da parábola substituindo (y - 2)^2 = x - 1 na equação anterior:
Portanto, a equação reduzida da parábola é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A fórmula para o foco em uma parábola com eixo paralelo ao y é:
Foco: (h + p, k)
Substituindo Foco: (1 + 14, 2) = (54, 2) , e :

Passo 6

Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo da parábola e localizada a uma distância x = h - p do vértice, no sentido oposto ao foco.
A equação da diretriz é dada por:
x = 1 - 14 = 34
Substituindo e :

Resposta

  • Equação reduzida da parábola:
  • Foco:
  • Diretriz:

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