Determine se o conjunto de vetores em P2 é linearmente independente ou linearmente dependente:
S=1+3 x+x^2,-1+x+2 x^2, 4 x

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto de vetores no espaço (polinômios de grau no máximo 2) é linearmente independente ou dependente. Para isso, precisamos entender o conceito de independência linear e como aplicar combinações lineares para testar isso.

Passo 2

Primeiro, consideramos uma combinação linear desses vetores igualando-a ao vetor zero:
c1(1 + 3x + x^2) + c2(-1 + x + 2x^2) + c3(4x) = 0
Aqui, , e são escalares que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos expandir a combinação:
c1 cdot 1 + c1 cdot 3x + c1 cdot x^2 + c2 cdot (-1) + c2 cdot x + c2 cdot 2x^2 + c3 cdot 4x = 0

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes, temos:
(c1 - c2) + (3c1 + c2 + 4c3)x + (c1 + 2c2)x^2 = 0

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo c1 - c2 = 0 3c1 + c2 + 4c3 = 0 c1 + 2c2 = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo por na terceira equação: .
  3. Então, .
  4. Substituindo e na segunda equação: .

Resposta

Todos os coeficientes , e são zero, o que significa que o conjunto é linearmente independente.

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