Determine se o conjunto de vetores em é linearmente independente ou linearmente dependente:
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto de vetores no espaço (polinômios de grau no máximo 2) é linearmente independente ou dependente. Para isso, precisamos entender o conceito de independência linear e como aplicar combinações lineares para testar isso.
Passo 2
Primeiro, consideramos uma combinação linear desses vetores igualando-a ao vetor zero:
Aqui, , e são escalares que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos expandir a combinação:
Passo 4
Agrupando os termos semelhantes, temos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo por na terceira equação: .
Então, .
Substituindo e na segunda equação: .
Resposta
Todos os coeficientes , e são zero, o que significa que o conjunto é linearmente independente.