Dados os pontos A(-4,2), B(-2,-2) e C(4,1) :
(b) determinar o ponto N pertencente ao segmento B C tal que B N=23 B C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá três pontos no plano cartesiano: , e . A parte (b) da questão pede para encontrar o ponto que está no segmento de tal forma que o vetor seja igual a do vetor .
Vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica para resolver isso. Precisaremos entender como os vetores funcionam no plano e como podemos encontrar um ponto que divida um segmento em uma determinada proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor . Isso quer dizer que o vetor que vai de até é dois terços do comprimento do vetor que vai de até . Em termos de divisão de segmento, isso indica que o ponto divide o segmento na razão de 2 para 1.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de N(x, y) = ( m cdot xC + n cdot xBm + n, m cdot yC + n cdot yBm + n ) , vamos usar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma determinada razão. A fórmula é a seguinte:
Onde:
  • e são as partes em que o segmento é dividido.
  • e são as coordenadas dos pontos e , respectivamente.
No nosso caso, , o que significa que divide na razão de 2:1. Portanto, e .

Passo 4

Vamos aplicar os valores na fórmula. Primeiro, identifique as coordenadas de B(-2, -2) e C(4, 1) e N(x, y) = ( 2 cdot 4 + 1 cdot (-2)2 + 1, 2 cdot 1 + 1 cdot (-2)2 + 1 ) :
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular cada componente:
Para x = 2 cdot 4 + 1 cdot (-2)3 = 8 - 23 = 63 = 2 :
y = 2 cdot 1 + 1 cdot (-2)3 = 2 - 23 = 03 = 0
Para :

Resposta

O ponto que divide o segmento na razão de 2:1 é .

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