Dados os pontos e :
(b) determinar o ponto pertencente ao segmento tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá três pontos no plano cartesiano: , e . A parte (b) da questão pede para encontrar o ponto que está no segmento de tal forma que o vetor seja igual a do vetor .
Vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica para resolver isso. Precisaremos entender como os vetores funcionam no plano e como podemos encontrar um ponto que divida um segmento em uma determinada proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o vetor . Isso quer dizer que o vetor que vai de até é dois terços do comprimento do vetor que vai de até . Em termos de divisão de segmento, isso indica que o ponto divide o segmento na razão de 2 para 1.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de N(x, y) = ( m cdot xC + n cdot xBm + n, m cdot yC + n cdot yBm + n ) , vamos usar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma determinada razão. A fórmula é a seguinte:
Onde:
e são as partes em que o segmento é dividido.
e são as coordenadas dos pontos e , respectivamente.
No nosso caso, , o que significa que divide na razão de 2:1. Portanto, e .
Passo 4
Vamos aplicar os valores na fórmula. Primeiro, identifique as coordenadas de B(-2, -2) e C(4, 1) e N(x, y) = ( 2 cdot 4 + 1 cdot (-2)2 + 1, 2 cdot 1 + 1 cdot (-2)2 + 1 ) :
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular cada componente:
Para x = 2 cdot 4 + 1 cdot (-2)3 = 8 - 23 = 63 = 2 :