Dados os pontos A(m, 1,0), B(m-1,2 m, 2) e C(1,3,-1), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de de modo que o triângulo formado pelos pontos , e seja retângulo no vértice . Além disso, precisamos calcular a área desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo de vetores no espaço tridimensional e o produto escalar para identificar ângulos retos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os vetores que formam os lados do triângulo a partir do ponto AB = B - A = ( (m-1) - m,; 2m - 1,; 2 - 0 ) = ( -1,; 2m - 1,; 2 ) . Esses vetores são AC = C - A = ( 1 - m,; 3 - 1,; -1 - 0 ) = ( 1 - m,; 2,; -1 ) e .

Passo 3

Para que o triângulo seja retângulo em AB cdot AC = 0 , os vetores (-1)(1 - m) + (2m - 1)(2) + (2)(-1) = 0 e -1 + m + 4m - 2 - 2 = 0 devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar entre eles deve ser igual a zero.
5m - 5 = 0
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de 5m - 5 = 0 implies 5m = 5 implies m = 1 :

Passo 5

Com Área = 12 | AB times AC | , vamos calcular a área do triângulo AB = (-1,; 2(1) - 1,; 2) = (-1,; 1,; 2) . A área de um triângulo no espaço pode ser encontrada usando o produto vetorial dos vetores AC = (1 - 1,; 2,; -1) = (0,; 2,; -1) e AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 2 0 & 2 & -1 = i(1 cdot (-1) - 2 cdot 2) - j(-1 cdot (-1) - 2 cdot 0) + k(-1 cdot 2 - 1 cdot 0) :
= i(-1 - 4) - j(1 - 0) + k(-2 - 0) Á
Primeiro, recalculamos os vetores com = -5i - 1j - 2k :
| AB times AC | = raiz(-5)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz25 + 1 + 4 = raiz30
Área = 12 raiz30
Agora, calculamos o produto vetorial :
A magnidão desse vetor é:
Finalmente, a área do triângulo é:
Á

Resposta

e a área do triângulo é unidades de área.

Exercícios relacionados

(2,0 pontos) Você precisa aumentar a temperatura de um gás em 10^circ C. Para gastar o mínimo de calor possível você deveria aquecer o gás mantendo a pressão ou o volume contante? Explique.
Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor v=(1,-1,2).
Encontre a projeção do vetor F= (5 i+3 j+2 k) N ao longo do vetor posição r=(3 i-4 j) m. [Resposta: F=0,6 N]
Sejam A(2,1,3), B(m, 3,5) e C(0,4,1) vértices do triângulo abaixo: Calcular a medida da projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C.