Dados os pontos e , determinar de modo que o triângulo seja retângulo em . Calcular a área do triângulo.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de de modo que o triângulo formado pelos pontos , e seja retângulo no vértice . Além disso, precisamos calcular a área desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo de vetores no espaço tridimensional e o produto escalar para identificar ângulos retos.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar os vetores que formam os lados do triângulo a partir do ponto . Esses vetores são e .
Passo 3
Para que o triângulo seja retângulo em , os vetores e devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar entre eles deve ser igual a zero.
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de :
Passo 5
Com , vamos calcular a área do triângulo . A área de um triângulo no espaço pode ser encontrada usando o produto vetorial dos vetores e :
Primeiro, recalculamos os vetores com = -5i - 1j - 2k :
| AB times AC | = raiz(-5)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz25 + 1 + 4 = raiz30