Determine as raízes das funções e esboce os gráficos:


Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício que pede para encontrar as raízes (ou seja, os valores de que fazem ) de várias funções, além de esboçar os gráficos delas. Vamos usar conceitos de funções lineares, quadráticas e logarítmicas para resolver. Vamos precisar entender como resolver equações de primeiro e segundo grau, além de saber um pouco sobre gráficos dessas funções.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:

Função 1:

Encontrando as raízes:
Para achar a raiz, a gente define e resolve para :
Adicionando 3 dos dois lados:
Dividindo por 2:
Esboço do gráfico:
Essa é uma função linear com coeficiente angular positivo ( ) e intercepto em . O gráfico é uma reta que cruza o eixo em e sobe à medida que aumenta.

Passo 3

Função 2:

Encontrando as raízes:
Definindo :
Subtraindo 3 dos dois lados:
Dividindo por :
Esboço do gráfico:
Outra fun��ão linear, mas com coeficiente angular negativo ( ) e intercepto em . O gráfico é uma reta que cruza o eixo em e desce à medida que aumenta.

Passo 4

Função 3:

Encontrando as raízes:
Definindo :
Subtraindo 3 dos dois lados:
Dividindo por :
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular positivo ( ) e intercepto em . A reta cruza o eixo em e sobe à medida que aumenta.

Passo 5

Função 4:

Encontrando as raízes:
Definindo :
Adicionando 8 dos dois lados:
Dividindo por 4:
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular positivo ( ) e intercepto em . A reta cruza o eixo em e sobe bastante à medida que aumenta.

Passo 6

Função 5: (Parece que faltou algo na função)

Observação:
Parece que há um erro na função . Sem o termo constante após o sinal negativo, não podemos encontrar a raiz. Vou assumir que o termo constante é zero para prosseguir:
Encontrando as raízes:
Definindo :
Multiplicando ambos os lados por :
Esboço do gráfico:
Função linear que passa pela origem ( ) com coeficiente angular positivo ( ). A reta sobe bastante à medida que aumenta.

Passo 7

Função 6:

Encontrando as raízes:
Definindo :
Multiplicando ambos os lados por :
Esboço do gráfico:
Função linear que passa pela origem ( ) com coeficiente angular negativo ( ). A reta desce à medida que aumenta.

Passo 8

Função 7:

Encontrando as raízes:
Definindo :
Subtraindo 10 dos dois lados:
Dividindo por :
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular negativo ( ) e intercepto em . A reta cruza o eixo em e desce rapidamente à medida que aumenta.

Passo 9

Fun��ão 8:

Encontrando as raízes:
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Portanto:
Esboço do gráfico:
Função quadrática com a forma de parábola voltada para cima ( ). As raízes são e . O vértice pode ser encontrado, mas para fins deste exercício, sabemos que a parábola cruza o eixo nesses pontos e tem um ponto mínimo.

Passo 10

Função 9:

Encontrando as raízes:
Resolvendo :
Multiplicando a equação por para facilitar:
Usando Bhaskara:
Onde , , :
Esboço do gráfico:
Função quadrática com parábola voltada para baixo ( ). Há apenas uma raiz real, , o que significa que a parábola toca o eixo nesse ponto. O vértice é o ponto máximo da parábola.

Passo 11

Função 10:

Encontrando as raízes:
Vamos resolver usando Bhaskara:
Como o discriminante ( ) é negativo, não há raízes reais.
Esboço do gráfico:
Função quadrática com parábola voltada para cima ( ). Não intercepta o eixo já que não tem raízes reais. O vértice está acima do eixo .

Passo 12

Função 11:

Encontrando as raízes:
Queremos encontrar tal que .
Sabemos que para qualquer base , então:
Esboço do gráfico:
Função logarítmica com base . Passa pelo ponto e . A curva cresce lentamente à medida que aumenta e não está definida para .

Passo 13

Função 12:

Encontrando as raízes:
Queremos encontrar tal que .
Como antes, :
Esboço do gráfico:
Função logarítmica com base . Passa pelo ponto e . A curva cresce lentamente à medida que aumenta e não está definida para .

Resposta

As raízes das funções são:
  1. (assumindo a função completa)
  2. e
  3. → Não possui raízes reais
Cada gráfico correspondente possui as características descritas nos passos acima.

Exercícios relacionados

Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
e)
Determine , se e
A medida angular entre e é , e suas normas, 2 e 3 . Calcule .
Dados os pontos A (p, 2); B (3, -1); F (2, q) e G para que , determine: