Determine as raízes das funções e esboce os gráficos:
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Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício que pede para encontrar as raízes (ou seja, os valores de que fazem ) de várias funções, além de esboçar os gráficos delas. Vamos usar conceitos de funções lineares, quadráticas e logarítmicas para resolver. Vamos precisar entender como resolver equações de primeiro e segundo grau, além de saber um pouco sobre gráficos dessas funções.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Função 1:
Encontrando as raízes:
Para achar a raiz, a gente define e resolve para :
Adicionando 3 dos dois lados:
Dividindo por 2:
Esboço do gráfico:
Essa é uma função linear com coeficiente angular positivo () e intercepto em . O gráfico é uma reta que cruza o eixo em e sobe à medida que aumenta.
Passo 3
Função 2:
Encontrando as raízes:
Definindo :
Subtraindo 3 dos dois lados:
Dividindo por :
Esboço do gráfico:
Outra fun��ão linear, mas com coeficiente angular negativo () e intercepto em . O gráfico é uma reta que cruza o eixo em e desce à medida que aumenta.
Passo 4
Função 3:
Encontrando as raízes:
Definindo :
Subtraindo 3 dos dois lados:
Dividindo por :
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular positivo () e intercepto em . A reta cruza o eixo em e sobe à medida que aumenta.
Passo 5
Função 4:
Encontrando as raízes:
Definindo :
Adicionando 8 dos dois lados:
Dividindo por 4:
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular positivo () e intercepto em . A reta cruza o eixo em e sobe bastante à medida que aumenta.
Passo 6
Função 5: (Parece que faltou algo na função)
Observação:
Parece que há um erro na função . Sem o termo constante após o sinal negativo, não podemos encontrar a raiz. Vou assumir que o termo constante é zero para prosseguir:
Encontrando as raízes:
Definindo :
Multiplicando ambos os lados por :
Esboço do gráfico:
Função linear que passa pela origem () com coeficiente angular positivo (). A reta sobe bastante à medida que aumenta.
Passo 7
Função 6:
Encontrando as raízes:
Definindo :
Multiplicando ambos os lados por :
Esboço do gráfico:
Função linear que passa pela origem () com coeficiente angular negativo (). A reta desce à medida que aumenta.
Passo 8
Função 7:
Encontrando as raízes:
Definindo :
Subtraindo 10 dos dois lados:
Dividindo por :
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular negativo () e intercepto em . A reta cruza o eixo em e desce rapidamente à medida que aumenta.
Passo 9
Fun��ão 8:
Encontrando as raízes:
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Portanto:
Esboço do gráfico:
Função quadrática com a forma de parábola voltada para cima (). As raízes são e . O vértice pode ser encontrado, mas para fins deste exercício, sabemos que a parábola cruza o eixo nesses pontos e tem um ponto mínimo.
Passo 10
Função 9:
Encontrando as raízes:
Resolvendo :
Multiplicando a equação por para facilitar:
Usando Bhaskara:
Onde , , :
Esboço do gráfico:
Função quadrática com parábola voltada para baixo (). Há apenas uma raiz real, , o que significa que a parábola toca o eixo nesse ponto. O vértice é o ponto máximo da parábola.
Passo 11
Função 10:
Encontrando as raízes:
Vamos resolver usando Bhaskara:
Como o discriminante () é negativo, não há raízes reais.
Esboço do gráfico:
Função quadrática com parábola voltada para cima (). Não intercepta o eixo já que não tem raízes reais. O vértice está acima do eixo .
Passo 12
Função 11:
Encontrando as raízes:
Queremos encontrar tal que .
Sabemos que para qualquer base , então:
Esboço do gráfico:
Função logarítmica com base . Passa pelo ponto e . A curva cresce lentamente à medida que aumenta e não está definida para .
Passo 13
Função 12:
Encontrando as raízes:
Queremos encontrar tal que .
Como antes, :
Esboço do gráfico:
Função logarítmica com base . Passa pelo ponto e . A curva cresce lentamente à medida que aumenta e não está definida para .
Resposta
As raízes das funções são:
→
→
→
→
→ (assumindo a função completa)
→
→
→ e
→
→ Não possui raízes reais
→
→
Cada gráfico correspondente possui as características descritas nos passos acima.