Determine as raízes das funções e esboce os gráficos:
-
-
・
-
-
・
-
-
-
-
-
-
・
・
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício que pede para encontrar as raízes (ou seja, os valores de
que fazem
) de várias funções, além de esboçar os gráficos delas. Vamos usar conceitos de funções lineares, quadráticas e logarítmicas para resolver. Vamos precisar entender como resolver equações de primeiro e segundo grau, além de saber um pouco sobre gráficos dessas funções.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Função 1:
Encontrando as raízes:
Para achar a raiz, a gente define
e resolve para
:
Adicionando 3 dos dois lados:
Dividindo por 2:
Esboço do gráfico:
Essa é uma função linear com coeficiente angular positivo (
) e intercepto em
. O gráfico é uma reta que cruza o eixo
em
e sobe à medida que
aumenta.
Passo 3
Função 2:
Encontrando as raízes:
Definindo
:
Subtraindo 3 dos dois lados:
Dividindo por
:
Esboço do gráfico:
Outra fun��ão linear, mas com coeficiente angular negativo (
) e intercepto em
. O gráfico é uma reta que cruza o eixo
em
e desce à medida que
aumenta.
Passo 4
Função 3:
Encontrando as raízes:
Definindo
:
Subtraindo 3 dos dois lados:
Dividindo por
:
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular positivo (
) e intercepto em
. A reta cruza o eixo
em
e sobe à medida que
aumenta.
Passo 5
Função 4:
Encontrando as raízes:
Definindo
:
Adicionando 8 dos dois lados:
Dividindo por 4:
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular positivo (
) e intercepto em
. A reta cruza o eixo
em
e sobe bastante à medida que
aumenta.
Passo 6
Função 5:
(Parece que faltou algo na função)
Observação:
Parece que há um erro na função
. Sem o termo constante após o sinal negativo, não podemos encontrar a raiz. Vou assumir que o termo constante é zero para prosseguir:
Encontrando as raízes:
Definindo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Esboço do gráfico:
Função linear que passa pela origem (
) com coeficiente angular positivo (
). A reta sobe bastante à medida que
aumenta.
Passo 7
Função 6:
Encontrando as raízes:
Definindo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Esboço do gráfico:
Função linear que passa pela origem (
) com coeficiente angular negativo (
). A reta desce à medida que
aumenta.
Passo 8
Função 7:
Encontrando as raízes:
Definindo
:
Subtraindo 10 dos dois lados:
Dividindo por
:
Esboço do gráfico:
Função linear com coeficiente angular negativo (
) e intercepto em
. A reta cruza o eixo
em
e desce rapidamente à medida que
aumenta.
Passo 9
Fun��ão 8:
Encontrando as raízes:
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Portanto:
Esboço do gráfico:
Função quadrática com a forma de parábola voltada para cima (
). As raízes são
e
. O vértice pode ser encontrado, mas para fins deste exercício, sabemos que a parábola cruza o eixo
nesses pontos e tem um ponto mínimo.
Passo 10
Função 9:
Encontrando as raízes:
Resolvendo
:
Multiplicando a equação por
para facilitar:
Usando Bhaskara:
Onde
,
,
:
Esboço do gráfico:
Função quadrática com parábola voltada para baixo (
). Há apenas uma raiz real,
, o que significa que a parábola toca o eixo
nesse ponto. O vértice é o ponto máximo da parábola.
Passo 11
Função 10:
Encontrando as raízes:
Vamos resolver
usando Bhaskara:
Como o discriminante (
) é negativo, não há raízes reais.
Esboço do gráfico:
Função quadrática com parábola voltada para cima (
). Não intercepta o eixo
já que não tem raízes reais. O vértice está acima do eixo
.
Passo 12
Função 11:
Encontrando as raízes:
Queremos encontrar
tal que
.
Sabemos que
para qualquer base
, então:
Esboço do gráfico:
Função logarítmica com base
. Passa pelo ponto
e
. A curva cresce lentamente à medida que
aumenta e não está definida para
.
Passo 13
Função 12:
Encontrando as raízes:
Queremos encontrar
tal que
.
Como antes,
:
Esboço do gráfico:
Função logarítmica com base
. Passa pelo ponto
e
. A curva cresce lentamente à medida que
aumenta e não está definida para
.
Resposta
As raízes das funções são:
-
→ -
→ -
→ -
→ -
→ (assumindo a função completa) -
→ -
→ -
→ e -
→ -
→ Não possui raízes reais -
→ -
→
Cada gráfico correspondente possui as características descritas nos passos acima.