Dados os pontos A(2, y), B(-8,4) e C(5,3), determine o valor de y para que o triângulo A B C seja retângulo, com ângulo reto no vértice A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no plano: , e . A missão é achar o valor de que faz o triângulo ser retângulo, ou seja, ter um ângulo de 90 graus no vértice .
Aqui, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente o conceito de perpendicularidade entre vetores. Quando dois lados de um triângulo são perpendiculares, o produto escalar dos vetores que os representam é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem de AB = B - A = (-8 - 2, 4 - y) = (-10, 4 - y) para AC = C - A = (5 - 2, 3 - y) = (3, 3 - y) e de para . Esses vetores são:

Passo 3

Agora, para o triângulo ser retângulo em AB cdot AC = (-10) times 3 + (4 - y) times (3 - y) = 0 , os vetores e devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar deles deve ser zero.
O produto escalar de e é dado por:

Passo 4

Vamos resolver a equação:
-30 + (4 - y)(3 - y) = 0
Primeiro, expandimos o produto:
-30 + (12 - 4y - 3y + y^2) = 0
Simplificando:
-30 + 12 - 7y + y^2 = 0
y^2 - 7y - 18 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática:
y^2 - 7y - 18 = 0
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
y = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 times 1 times (-18)2 times 1 = 7 pm raiz49 + 722 = 7 pm raiz1212
raiz121 = 11
Portanto:
y = 7 pm 112
Isso dá duas soluções:
y = 7 + 112 = 9 ou y = 7 - 112 = -2

Resposta

O valor de que faz o triângulo ser retângulo em pode ser ou .

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