Dados os pontos
e
, determine o valor de
para que o triângulo
seja retângulo, com ângulo reto no vértice
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no plano:
,
e
. A missão é achar o valor de
que faz o triângulo
ser retângulo, ou seja, ter um ângulo de 90 graus no vértice
.
Aqui, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente o conceito de perpendicularidade entre vetores. Quando dois lados de um triângulo são perpendiculares, o produto escalar dos vetores que os representam é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem de
para
e de
para
. Esses vetores são:
Passo 3
Agora, para o triângulo ser retângulo em
, os vetores
e
devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar deles deve ser zero.
O produto escalar de
e
é dado por:
Passo 4
Vamos resolver a equação:
Primeiro, expandimos o produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto:
Isso dá duas soluções:
Resposta
O valor de
que faz o triângulo
ser retângulo em
pode ser
ou
.