Represente no Plano Cartesiano os possíveis vértices do triângulo equilátero de lado 6, que tenha um dos lados paralelo ao eixo x e a interseção das bissetrizes do triângulo seja a origem O(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos desenhar, no Plano Cartesiano, os possíveis vértices de um triângulo equilátero que tem lado igual a 6. Além disso, um dos lados desse triângulo precisa ser paralelo ao eixo x, e o ponto onde as bissetrizes do triângulo se encontram (o centroide) deve estar na origem O(0,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria do triângulo equilátero, propriedades do centroide e coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que em um triângulo equilátero, todas as bissetrizes coincidem com as medianas e as alturas. Isso significa que o centroide (onde as bissetrizes se encontram) divide cada mediana na razão 2:1, sendo 2 partes na direção do vértice e 1 parte na direção da base.
Como queremos que o centroide esteja na origem O(0,0), vamos posicionar o triângulo de forma que um dos lados esteja paralelo ao eixo x. Vamos supor que a base do triângulo esteja na horizontal.

Passo 3

Vamos determinar as coordenadas dos vértices. Suponha que a base do triângulo tenha comprimento 6 e esteja centrada na origem. Assim, os dois vértices da base terão coordenadas simétricas em relação ao eixo y.
Então, as coordenadas dos vértices da base serão:
  • A(-62, 0) = A(-3, 0)
  • B(62, 0) = B(3, 0)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as coordenadas do terceiro vértice C. Sabemos que a altura de um triângulo equilátero pode ser calculada usando a fórmula:
h = raiz32 times lado = raiz32 times 6 = 3raiz3
Como o centroide está na origem, a distância do centroide até a base será h3 = raiz3. Isso significa que o vértice C estará a uma distância de 2raiz3 acima da base.
Portanto, as coordenadas de C serão:
  • C(0, 2raiz3)

Resposta

Os possíveis vértices do triângulo equilátero são:
  • A(-3, 0)
  • B(3, 0)
  • C(0, 2raiz3)

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