Represente no Plano Cartesiano os possíveis vértices do triângulo equilátero de lado 6, que tenha um dos lados paralelo ao eixo
e a interseção das bissetrizes do triângulo seja a origem
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos desenhar, no Plano Cartesiano, os possíveis vértices de um triângulo equilátero que tem lado igual a 6. Além disso, um dos lados desse triângulo precisa ser paralelo ao eixo
, e o ponto onde as bissetrizes do triângulo se encontram (o centroide) deve estar na origem
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria do triângulo equilátero, propriedades do centroide e coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, lembremos que em um triângulo equilátero, todas as bissetrizes coincidem com as medianas e as alturas. Isso significa que o centroide (onde as bissetrizes se encontram) divide cada mediana na razão 2:1, sendo 2 partes na direção do vértice e 1 parte na direção da base.
Como queremos que o centroide esteja na origem
, vamos posicionar o triângulo de forma que um dos lados esteja paralelo ao eixo
. Vamos supor que a base do triângulo esteja na horizontal.
Passo 3
Vamos determinar as coordenadas dos vértices. Suponha que a base do triângulo tenha comprimento 6 e esteja centrada na origem. Assim, os dois vértices da base terão coordenadas simétricas em relação ao eixo
.
Então, as coordenadas dos vértices da base serão:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as coordenadas do terceiro vértice
. Sabemos que a altura de um triângulo equilátero pode ser calculada usando a fórmula:
Como o centroide está na origem, a distância do centroide até a base será
. Isso significa que o vértice
estará a uma distância de
acima da base.
Portanto, as coordenadas de
serão:
Resposta
Os possíveis vértices do triângulo equilátero são: