Dados quaisquer a, b, c in R, suponha que existem d, e in R, d, tais que, a, b, c in[d, e] e f in R[d, e]. Prove que
integrala^b f(x) d x=integrala^c f(x) d x+integralc^b f(x) d x

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo integral que envolve a propriedade da aditividade das integrais definidas. O enunciado nos pede para provar que, dado integrala^b f(x) , dx = integrala^c f(x) , dx + integralc^b f(x) , dx com e , para qualquer função contínua em , vale:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade de que a integral definida sobre um intervalo pode ser dividida em somas de integrais sobre subintervalos adjacentes.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa dividir a integral. A propriedade que vamos usar afirma que se integrala^b f(x) , dx = integrala^c f(x) , dx + integralc^b f(x) , dx está entre e , então a área total de de até é a soma das áreas de até e de até .
Em termos matemáticos, isso é formalizado como:

Passo 3

Para provar isso, consideramos a definição de integral definida como o limite de somas de Riemann. Vamos dividir o intervalo integrala^b f(x) , dx = integrala^c f(x) , dx + integralc^b f(x) , dx em duas partes: e .
Assim, podemos reescrever a integral total como a soma das integrais dessas duas partes:

Passo 4

Essa propriedade também está alinhada com a ideia de que a integral definida representa a área sob a curva. Se quisermos a área de até , podemos calcular separadamente a área de até e de até , somando ambas para obter a área total.

Passo 5

Outra forma de ver isso é usando a função antiderivada. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) é uma antiderivada de integrala^c f(x) , dx = F(c) - F(a) , então:
integralc^b f(x) , dx = F(b) - F(c)
Aplicando isso às integrais de integrala^c f(x) , dx + integralc^b f(x) , dx = [F(c) - F(a)] + [F(b) - F(c)] = F(b) - F(a) = integrala^b f(x) , dx até e de até :
Somando as duas equações:

Resposta

Portanto, provamos que:
integrala^b f(x) , dx = integrala^c f(x) , dx + integralc^b f(x) , dx

Exercícios relacionados