Dados quaisquer
, suponha que existem
, tais que,
. Prove que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo integral que envolve a propriedade da aditividade das integrais definidas. O enunciado nos pede para provar que, dado
com
e
, para qualquer função
contínua em
, vale:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade de que a integral definida sobre um intervalo pode ser dividida em somas de integrais sobre subintervalos adjacentes.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que significa dividir a integral. A propriedade que vamos usar afirma que se
está entre
e
, então a área total de
de
até
é a soma das áreas de
até
e de
até
.
Em termos matemáticos, isso é formalizado como:
Passo 3
Para provar isso, consideramos a definição de integral definida como o limite de somas de Riemann. Vamos dividir o intervalo
em duas partes:
e
.
Assim, podemos reescrever a integral total como a soma das integrais dessas duas partes:
Passo 4
Essa propriedade também está alinhada com a ideia de que a integral definida representa a área sob a curva. Se quisermos a área de
até
, podemos calcular separadamente a área de
até
e de
até
, somando ambas para obter a área total.
Passo 5
Outra forma de ver isso é usando a função antiderivada. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se
é uma antiderivada de
, então:
Aplicando isso às integrais de
até
e de
até
:
Somando as duas equações:
Resposta
Portanto, provamos que: