Seja I um intervalo da reta. Dizemos que uma propriedade P vale quase sempre (q.s. ou q.t.p.) quando o conjunto dos x in I para os quais a propriedade P falha, é de medida nula. Por exemplo, uma função f:[a, b] R é contínua quase sempre em [a, b] quando o conjunto x in[a, b]: f é descontínua em x é de medida nula.
(a) Sejam f:[a, b] R e g:[a, b] R funções definidas por:
f(x)=1 para todo x in[a, b] e g(x)= 1, & se x é irracional, 0, & se x é racional éé
Prove que f=g quase sempre em [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que as funções e são iguais quase sempre no intervalo . Isso está dentro do estudo de medidas e funções que têm propriedades que podem falhar em apenas alguns pontos, mas “quase sempre” significam que o conjunto onde falham tem “medida nula”. Ou seja, vamos precisar entender o que significa uma função ser igual quase sempre e trabalhar com a ideia de medida nula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas funções g(x) = 1, & se x é irracional, 0, & se x é racional e podem ser diferentes. A função para todo em , enquanto depende se é irracional ou racional:
éé
Então, e são diferentes exatamente quando é racional, porque nesses pontos e .

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que o conjunto dos mu(Q cap [a, b]) = 0 onde tem medida nula. Esse conjunto é o conjunto dos números racionais em , que podemos chamar de .
Sabemos que os números racionais são densos na reta real, mas eles são contáveis. E na teoria da medida, qualquer conjunto contável tem medida de Lebesgue zero. Ou seja:
Isso significa que o conjunto onde e diferem tem medida nula.

Passo 4

Como o conjunto onde tem medida nula, segundo a definição, isso significa que e são iguais quase sempre em .

Resposta

Portanto, quase sempre em .

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