Seja
um intervalo da reta. Dizemos que uma propriedade
vale quase sempre (q.s. ou q.t.p.) quando o conjunto dos
para os quais a propriedade
falha, é de medida nula. Por exemplo, uma função
é contínua quase sempre em
quando o conjunto
é descontínua em
é de medida nula.
(a) Sejam
e
funções definidas por:
Prove que
quase sempre em
.
(a) Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que as funções
e
são iguais quase sempre no intervalo
. Isso está dentro do estudo de medidas e funções que têm propriedades que podem falhar em apenas alguns pontos, mas “quase sempre” significam que o conjunto onde falham tem “medida nula”. Ou seja, vamos precisar entender o que significa uma função ser igual quase sempre e trabalhar com a ideia de medida nula.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas funções
e
podem ser diferentes. A função
para todo
em
, enquanto
depende se
é irracional ou racional:
Então,
e
são diferentes exatamente quando
é racional, porque nesses pontos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que o conjunto dos
onde
tem medida nula. Esse conjunto é o conjunto dos números racionais em
, que podemos chamar de
.
Sabemos que os números racionais são densos na reta real, mas eles são contáveis. E na teoria da medida, qualquer conjunto contável tem medida de Lebesgue zero. Ou seja:
Isso significa que o conjunto onde
e
diferem tem medida nula.
Passo 4
Como o conjunto onde
tem medida nula, segundo a definição, isso significa que
e
são iguais quase sempre em
.
Resposta
Portanto,
quase sempre em
.