Seja I um intervalo da reta. Dizemos que uma propriedade P vale quase sempre (q.s. ou q.t.p.) quando o conjunto dos x in I para os quais a propriedade P falha, é de medida nula. Por exemplo, uma função f: [a, b] -> R é contínua quase sempre em [a, b] quando o conjunto {x in [a, b]: f} é descontínua em x é de medida nula.
© Prove que, se f: [a, b] -> R e g:[a, b] -> R são contínuas quase sempre em [a, b], então f + g é contínua quase sempre em [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão fala sobre funções contínuas quase sempre em um intervalo . Isso significa que as funções e são contínuas em quase todos os pontos desse intervalo, exceto talvez em um conjunto de pontos que tem “medida nula” (ou seja, é muito pequeno, praticamente ignora). A gente precisa provar que a soma dessas duas funções, , também será contínua quase sempre em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser contínuo quase sempre. Se uma função é contínua quase sempre em , isso quer dizer que o conjunto de pontos onde não é contínua tem medida zero. Vamos chamar esse conjunto de para a função e para a função . Então:
ãéí
ãéí
Como e são contínuas quase sempre, tanto quanto têm medida zero.

Passo 3

Agora, queremos analisar a função . Sabemos que a soma de duas funções contínuas em um ponto é contínua nesse ponto. Ou seja, se e são contínuas em um certo , então também é contína em .
Então, onde pode não ser contínua? Bem, isso só pode acontecer nos pontos onde pelo menos uma das funções ou não é contínua. Ou seja, o conjunto de pontos onde não é contínua está contido na união dos conjuntos e :

Passo 4

Agora, como e têm medida zero, a união deles também tem medida zero (porque a medida de uma união de dois conjuntos de medida zero continua sendo zero).
Portanto, o conjunto de pontos onde não é contínua, , também tem medida zero. Isso significa que é contínua quase sempre em .

Resposta

Assim, mostramos que é contínua quase sempre em .

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