Seja
um intervalo da reta. Dizemos que uma propriedade
vale quase sempre (q.s. ou q.t.p.) quando o conjunto dos
para os quais a propriedade
falha, é de medida nula. Por exemplo, uma função
é contínua quase sempre em
quando o conjunto
é descontínua em
é de medida nula.
© Prove que, se
e
são contínuas quase sempre em
, então
é contínua quase sempre em
.
© Prove que, se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão fala sobre funções contínuas quase sempre em um intervalo
. Isso significa que as funções
e
são contínuas em quase todos os pontos desse intervalo, exceto talvez em um conjunto de pontos que tem “medida nula” (ou seja, é muito pequeno, praticamente ignora). A gente precisa provar que a soma dessas duas funções,
, também será contínua quase sempre em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser contínuo quase sempre. Se uma função
é contínua quase sempre em
, isso quer dizer que o conjunto de pontos onde
não é contínua tem medida zero. Vamos chamar esse conjunto de
para a função
e
para a função
. Então:
Como
e
são contínuas quase sempre, tanto
quanto
têm medida zero.
Passo 3
Agora, queremos analisar a função
. Sabemos que a soma de duas funções contínuas em um ponto é contínua nesse ponto. Ou seja, se
e
são contínuas em um certo
, então
também é contína em
.
Então, onde
pode não ser contínua? Bem, isso só pode acontecer nos pontos onde pelo menos uma das funções
ou
não é contínua. Ou seja, o conjunto de pontos onde
não é contínua está contido na união dos conjuntos
e
:
Passo 4
Agora, como
e
têm medida zero, a união deles
também tem medida zero (porque a medida de uma união de dois conjuntos de medida zero continua sendo zero).
Portanto, o conjunto de pontos onde
não é contínua,
, também tem medida zero. Isso significa que
é contínua quase sempre em
.
Resposta
Assim, mostramos que
é contínua quase sempre em
.