Suponha f^prime integrável em [0,1]. Prove que
|f(12)| <= integral0^1|f(x)| d x+12 integral0^1|f^prime(x)| d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função cuja derivada é integrável no intervalo . Precisamos provar que o valor absoluto de é menor ou igual à integral de de 0 a 1 mais metade da integral de de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como integrais e propriedades de funções deriváveis.

Passo 2

Primeiro, lembremos que se uma função é diferenciável em um intervalo, podemos expressá-la usando a integral de sua derivada. Especificamente, para qualquer f(x) = f(0) + integral0^x f'(t) dt em , temos:
Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas com integrais.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para f(12) = f(0) + integral0^12 f'(t) dt :
Aqui, estamos expressando em termos do valor de em 0 e da integral de sua derivada até .

Passo 4

Agora, vamos considerar o valor absoluto de | f(12) | = | f(0) + integral0^12 f'(t) dt | :
| f(12) | <= |f(0)| + | integral0^12 f'(t) dt |
Pela desigualdade triangular, sabemos que . Aplicando isso aqui, temos:

Passo 5

Sabemos que o valor absoluto da integral é menor ou igual à integral do valor absoluto. Ou seja:
| integral0^12 f'(t) dt | <= integral0^12 |f'(t)| dt
Substituindo isso na desigualdade anterior:
| f(12) | <= |f(0)| + integral0^12 |f'(t)| dt

Passo 6

Agora, precisamos relacionar |f(0)| <= integral0^1 |f(x)| dx com a integral de no intervalo . Observamos que:
Isso porque a integral de no intervalo engloba o valor absoluto de em todos os pontos, incluindo .

Passo 7

Finalmente, substituímos | f(12) | <= integral0^1 |f(x)| dx + integral0^12 |f'(t)| dt na nossa desigualdade anterior:
integral0^12 |f'(t)| dt <= 12 integral0^1 |f'(x)| dx
Observamos que:
Porque estamos integrando apenas metade do intervalo .

Resposta

Portanto,
| f(12) | <= integral0^1 |f(x)| dx + 12 integral0^1 |f^prime(x)| dx

Exercícios relacionados