Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função cuja derivada é integrável no intervalo . Precisamos provar que o valor absoluto de é menor ou igual à integral de de 0 a 1 mais metade da integral de de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como integrais e propriedades de funções deriváveis.
Passo 2
Primeiro, lembremos que se uma função é diferenciável em um intervalo, podemos expressá-la usando a integral de sua derivada. Especificamente, para qualquer f(x) = f(0) + integral0^x f'(t) dt em , temos:
Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas com integrais.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para f(12) = f(0) + integral0^12 f'(t) dt :
Aqui, estamos expressando em termos do valor de em 0 e da integral de sua derivada até .
Passo 4
Agora, vamos considerar o valor absoluto de | f(12) | = | f(0) + integral0^12 f'(t) dt | :
| f(12) | <= |f(0)| + | integral0^12 f'(t) dt |
Pela desigualdade triangular, sabemos que . Aplicando isso aqui, temos:
Passo 5
Sabemos que o valor absoluto da integral é menor ou igual à integral do valor absoluto. Ou seja: