Determine os valores de p e q para os quais as seguintes integrais impróprias convergem:
(b) integral0^1 x^p(1-x^2)^q d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os valores de integral0^1 x^p(1 - x^2)^q dx e que fazem com que a integral imprópria
converja. Estamos lidando com integrais impróprias, que envolvem funções que podem ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como divisões por zero ou infinito. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral nos pontos problemáticos, que nesse caso são e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o comportamento da função perto de integral0^1 x^p dx . Quando integral0^a x^p dx conver>= se p > -1 se aproxima de 0, a parte p > -1 domina. Então, basicamente, estamos analisando a integral:
Sabemos que a integral de converge se a potência for maior que . Isso vem do teste de p, que nos diz que:
Então, para garantir que a integral não exploda quando se aproxima de 0, precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o comportamento da função perto de 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) . Aqui, a parte que pode causar problemas é (1 - x)^q . Se fizermos uma pequena manipulação, percebemos que:
integral1 - epsilon^1 (1 - x)^q dx
Perto de q > -1 , está aproximadamente igual a 2, então a expressão se comporta como:
Portanto, precisamos analisar a integral:
Usando novamente o teste de p, sabemos que essa integral converge se:

Resposta

Para que a integral
integral0^1 x^p(1 - x^2)^q dx
converja, é necessário que:
p > -1 e q > -1

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