Determine os valores de
e
para os quais as seguintes integrais impróprias convergem:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os valores de
e
que fazem com que a integral imprópria
converja. Estamos lidando com integrais impróprias, que envolvem funções que podem ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como divisões por zero ou infinito. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral nos pontos problemáticos, que nesse caso são
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o comportamento da função perto de
. Quando
se aproxima de 0, a parte
domina. Então, basicamente, estamos analisando a integral:
Sabemos que a integral de
converge se a potência
for maior que
. Isso vem do teste de p, que nos diz que:
Então, para garantir que a integral não exploda quando
se aproxima de 0, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o comportamento da função perto de
. Aqui, a parte que pode causar problemas é
. Se fizermos uma pequena manipulação, percebemos que:
Perto de
,
está aproximadamente igual a 2, então a expressão se comporta como:
Portanto, precisamos analisar a integral:
Usando novamente o teste de p, sabemos que essa integral converge se:
Resposta
Para que a integral
converja, é necessário que: