Quais séries convergem? E quais divergem? sumn=1^infty(e^-n n^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge: sumn=1^infty(e^-n n^3). Esse tipo de problema está ligado ao estudo de séries matemáticas, mais especificamente à convergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Esse teste consiste em calcular o limite da razão entre o termo geral $\ a_{n+1} \ $ e o termo $\ a_n \ $ da série, quando an+1 tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá informação.

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = e^-(n+1) (n+1)^3e^-n n^3 = (n+1)^3n^3 cdot e^-n-1e^-n = (n+1n)^3 cdot 1e
Simplificando mais:
(1 + 1n)^3 cdot 1e

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty (1 + 1n)^3 cdot 1e = 1^3 cdot 1e = 1e
Como 1e approx 0,3679 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(e^-n n^3) converge.

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