Quais séries convergem? E quais divergem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge:
. Esse tipo de problema está ligado ao estudo de séries matemáticas, mais especificamente à convergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se a série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Esse teste consiste em calcular o limite da razão entre o termo geral $\ a_{n+1} \ $ e o termo $\ a_n \ $ da série, quando
tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá informação.
Passo 3
Vamos calcular a razão
:
Simplificando mais:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Como
é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.
Resposta
A série
converge.
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Dados
e
, seja
. Calcule
de duas formas: (i) explicitamente, por meio da regra que define
; (ii) via a regra da cadeia.
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