Quais séries convergem? E quais divergem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge: . Esse tipo de problema está ligado ao estudo de séries matemáticas, mais especificamente à convergência de séries. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Esse teste consiste em calcular o limite da razão entre o termo geral $\ a_{n+1} \ $ e o termo $\ a_n \ $ da série, quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá informação.

Passo 3

Vamos calcular a razão :
Simplificando mais:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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Dados e , seja . Calcule de duas formas: (i) explicitamente, por meio da regra que define ; (ii) via a regra da cadeia.
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