Seja z = x^2 sen(xy), onde x = x(t) = 2t - t^3 e y = pi - 2 + 2 t. Calcule d z/d t | t=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , onde e também dependem de . A gente precisa calcular a derivada de em relação a no ponto onde . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas de funções compostas, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como depende de . Já que e e são funções de , precisamos derivar em relação a usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a :
Usando a regra do produto, temos:

Passo 4

Agora, precisamos derivar em relação a . Usando a regra da cadeia novamente:
Então, substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias no ponto :

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão de :
Sabemos que e , então simplificando:

Resposta

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