Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, e , definidas por equações paramétricas. Precisamos encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e que é ortogonal (ou perpendicular) às duas retas dadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender geometria vetorial, especificamente como encontrar uma reta perpendicular a outras retas usando vetores diretores e o produto vetorial.

Passo 2

Vamos identificar os vetores diretores das retas e . A equação paramétrica de uma reta no espaço tem a forma:
Aqui, é o vetor diretor da reta.
Para :
O vetor diretor de é .
Para :
O vetor diretor de é .

Passo 3

Queremos encontrar um vetor diretor para a reta que buscamos, que seja perpendicular tanto a quanto a . Isso significa que deve satisfazer:
Onde representa o produto escalar entre vetores. Para encontrar tal vetor , podemos utilizar o produto vetorial entre e , já que o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 4

Calculando o produto vetorial :
Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é .

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor e sabemos que a reta passa pela origem , podemos escrever a equação paramétrica da reta desejada:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas e é:
Onde é o parâmetro real.

Exercícios relacionados

Encontre equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do segmento MN , com e e é paralela à reta .
A matriz abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em :
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Seja uma matriz cujos autovalores são -4 e 8 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Dados e , ache os pontos de que equidistam de .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .