Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, e , definidas por equações paramétricas. Precisamos encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e que é ortogonal (ou perpendicular) às duas retas dadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender geometria vetorial, especificamente como encontrar uma reta perpendicular a outras retas usando vetores diretores e o produto vetorial.
Passo 2
Vamos identificar os vetores diretores das retas e . A equação paramétrica de uma reta no espaço tem a forma:
Aqui, é o vetor diretor da reta.
Para :
O vetor diretor de é .
Para :
O vetor diretor de é .
Passo 3
Queremos encontrar um vetor diretor para a reta que buscamos, que seja perpendicular tanto a quanto a . Isso significa que deve satisfazer:
Onde representa o produto escalar entre vetores. Para encontrar tal vetor , podemos utilizar o produto vetorial entre e , já que o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Passo 4
Calculando o produto vetorial:
Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é .
Passo 5
Agora que temos o vetor diretor e sabemos que a reta passa pela origem , podemos escrever a equação paramétrica da reta desejada:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas e é: