Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, e , definidas por equações paramétricas. Precisamos encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e que é ortogonal (ou perpendicular) às duas retas dadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender geometria vetorial, especificamente como encontrar uma reta perpendicular a outras retas usando vetores diretores e o produto vetorial.
Passo 2
Vamos identificar os vetores diretores das retas x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e r1: c x = t + 2 y = 5 t + 3 z = 6 t + 5 . A equação paramétrica de uma reta no espaço tem a forma:
r2: c x = 1 + 3 s y = s z = -7 + 2 s
Aqui, é o vetor diretor da reta.
Para :
O vetor diretor de é .
Para :
O vetor diretor de é .
Passo 3
Queremos encontrar um vetor diretor u cdot v1 = 0 u cdot v2 = 0 para a reta que buscamos, que seja perpendicular tanto a quanto a . Isso significa que deve satisfazer:
Onde representa o produto escalar entre vetores. Para encontrar tal vetor , podemos utilizar o produto vetorial entre e , já que o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é .
Passo 5
Agora que temos o vetor diretor x = 0 + 4 t y = 0 + 16 t z = 0 - 14 t e sabemos que a reta passa pela origem x = 4 t y = 16 t z = -14 t , podemos escrever a equação paramétrica da reta desejada:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas c x = 4 t y = 16 t z = -14 t e é: