Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas
r1:c x=t+2 y=5 t+3 z=6 t+5 r2:c x=1+3 s y=s z=-7+2 s

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, e , definidas por equações paramétricas. Precisamos encontrar a equação de uma reta que passa pela origem e que é ortogonal (ou perpendicular) às duas retas dadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender geometria vetorial, especificamente como encontrar uma reta perpendicular a outras retas usando vetores diretores e o produto vetorial.

Passo 2

Vamos identificar os vetores diretores das retas x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e r1: c x = t + 2 y = 5 t + 3 z = 6 t + 5 . A equação paramétrica de uma reta no espaço tem a forma:
r2: c x = 1 + 3 s y = s z = -7 + 2 s
Aqui, é o vetor diretor da reta.
Para :
O vetor diretor de é .
Para :
O vetor diretor de é .

Passo 3

Queremos encontrar um vetor diretor u cdot v1 = 0 u cdot v2 = 0 para a reta que buscamos, que seja perpendicular tanto a quanto a . Isso significa que deve satisfazer:
Onde representa o produto escalar entre vetores. Para encontrar tal vetor , podemos utilizar o produto vetorial entre e , já que o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 4

Calculando o produto vetorial v1 = (1, 5, 6) v2 = (3, 1, 2) :
u = v1 times v2 = i & j & k 1 & 5 & 6 3 & 1 & 2
u = i(5 cdot 2 - 6 cdot 1) - j(1 cdot 2 - 6 cdot 3) + k(1 cdot 1 - 5 cdot 3)
u = i(10 - 6) - j(2 - 18) + k(1 - 15)
u = 4i + 16j -14k
Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é .

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor x = 0 + 4 t y = 0 + 16 t z = 0 - 14 t e sabemos que a reta passa pela origem x = 4 t y = 16 t z = -14 t , podemos escrever a equação paramétrica da reta desejada:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas c x = 4 t y = 16 t z = -14 t e é:
Onde é o parâmetro real.

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