Dados os respectivos vetores velocidade e aceleração instantâneas de uma partícula:
v & =6 imath-3 jmath+2 k ms a & =3 imath-jmath+5 k ms^2
Determine: 9.b) O valor de dotv

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos dá os vetores de velocidade e aceleração de uma partícula. A nossa missão aqui é encontrar o valor de , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, também conhecida como taxa de variação da velocidade. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de produto escalar e magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Essa notação representa a taxa de variação da velocidade, ou seja, como a velocidade está mudando ao longo do tempo. Matemática falando, é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

A fórmula para encontrar dotv = v cdot a|v| é:
Aqui, é o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração, e é a magnitude (ou módulo) do vetor velocidade.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v = 6,imath - 3,jmath + 2,k ms . Dados os vetores:
a = 3,imath - 1,jmath + 5,k ms^2
v cdot a = (6)(3) + (-3)(-1) + (2)(5) = 18 + 3 + 10 = 31
O produto escalar é calculado multiplicando cada componente correspondente e somando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude do vetor velocidade |v| = raiz6^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7 , ms . A magnitude de um vetor é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:

Passo 6

Com o produto escalar e a magnitude calculados, é só substituir na fórmula de dotv = 317 approx 4,43 , ms^2 :

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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