Uma partícula disparada do ponto A(XA ; YA)=(3 m ; 4 m) e sujeita a uma aceleração constante a=-g jmath precisa atingir o ponto B(XB ; YB)=(40 m ; 30 m). Para tanto, pede-se:
  • considere g=9,8 ms^2
    7.a) Determine as expressões X(t), Y(t), Vx(t) e Vy(t) da cinemática do movimento em função dos parâmetros algébricos XA, YA, XB, YB, g, a magnitude v0 do disparo e o ângulo de com a horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que foi lançada do ponto A (3 m, 4 m) e precisa chegar no ponto B (40 m, 30 m). A matéria que vamos usar aqui é a cinemática do movimento de projéteis, que estuda como objetos se movem no ar sob a influência da gravidade. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de posição e velocidade em função do tempo, além de saber o valor da aceleração da gravidade g = 9,8 ms^2, a velocidade inicial v0 e o ângulo de lançamento de.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleriação a está apenas na direção vertical, ou seja, a = -g jmath. Isso significa que na direção horizontal (x) não tem aceleração, então a velocidade horizontal Vx permanece constante ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das fórmulas da posição em função do tempo para o movimento horizontal e vertical:
  • Posição horizontal:
    X(t) = XA + V0x cdot t
  • Posição vertical:
    Y(t) = YA + V0y cdot t - 12 g t^2
Aqui, V0x e V0y s��o as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial v0.

Passo 4

Vamos expressar V0x e V0y em termos de v0 e do ângulo de:
V0x = v0 cdot cos(de
V0y = v0 cdot sin(de
Isso porque estamos decompondo a velocidade inicial nos eixos x e y usando as funções trigonométricas cosseno e seno.

Passo 5

Substituindo V0x e V0y nas equações de posição, temos:
X(t) = XA + v0 cdot cos(de
Y(t) = YA + v0 cdot sin(de
Essas são as expressões das posições em função do tempo, considerando os parâmetros dados.

Passo 6

Agora, vamos determinar as expressões das velocidades Vx(t) e Vy(t).
  • Velocidade horizontal:
    Vx(t) = dX(t)dt = v0 cdot cos(de
  • Velocidade vertical:
    Vy(t) = dY(t)dt = v0 cdot sin(de
Isso mostra que a velocidade horizontal permanece constante, enquanto a vertical varia com o tempo devido à aceleração da gravidade.

Resposta

As expressões da cinemática do movimento são:
X(t) = 3,m + v0 cdot cos(de
Y(t) = 4,m + v0 cdot sin(de
Vx(t) = v0 cdot cos(de
Vy(t) = v0 cdot sin(de

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