Dados os respectivos vetores velocidade e aceleração instantâneas de uma partícula:
v & =6 imath-3 jmath+2 k ms a & =3 imath-jmath+5 k ms^2
Determine: 9.a) O ângulo theta entre os vetores v e a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o ângulo theta entre os vetores velocidade v e aceleração a de uma partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de produto escalar entre vetores e como ele está relacionado ao ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores v e a é dado por:
v cdot a = |v| , |a| costheta
Onde:
  • v cdot a é o produto escalar dos vetores.
  • |v| e |a| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre os vetores.
Nosso objetivo é encontrar theta, então vamos precisar calcular o produto escalar e as magnitudes dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot a. Se os vetores são:
v = 6 imath - 3 jmath + 2 k a = 3 imath - jmath + 5 k
O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados:
v cdot a = (6)(3) + (-3)(-1) + (2)(5) = 18 + 3 + 10 = 31

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores v e a. A magnitude de um vetor v = a imath + b jmath + c k é dada por:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Então, para v:
|v| = raiz6^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7
E para a:
|a| = raiz3^2 + (-1)^2 + 5^2 = raiz9 + 1 + 25 = raiz35 approx 5,916

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo theta:
costheta = v cdot a|v| , |a| = 317 times 5,916 approx 3141,412 approx 0,749
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função inversa do cosseno:
theta = cos^-1(0,749) approx 41,2^circ

Resposta

O ângulo theta entre os vetores v e a é aproximadamente 41,2 graus.

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