Dados os respectivos vetores velocidade e aceleração instantâneas de uma partícula:
Determine: 9.a) O ângulo theta entre os vetores v e a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o ângulo theta entre os vetores velocidade v e aceleração a de uma partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de produto escalar entre vetores e como ele está relacionado ao ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores v e a é dado por:
v cdot a = |v| , |a| costheta
Onde:
v cdot a é o produto escalar dos vetores.
|v| e |a| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
theta é o ângulo entre os vetores.
Nosso objetivo é encontrar theta, então vamos precisar calcular o produto escalar e as magnitudes dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalarv cdot a. Se os vetores são:
v = 6 imath - 3 jmath + 2 k a = 3 imath - jmath + 5 k
O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados:
v cdot a = (6)(3) + (-3)(-1) + (2)(5) = 18 + 3 + 10 = 31
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores v e a. A magnitude de um vetor v = a imath + b jmath + c k é dada por: