Dados s=1,2,3 ou 4 e t=1,2 ou 3 , define-se a matriz,
Es t=[ei j]4 times 3, onde ei j= 1, & se i=s, j=t 0, & outro caso
Analogamente, para k=1,2,3 e l=1,2,3, define-se
Fk l=[fi j]3 times 3, onde fi j= 1, & se i=k, j=l 0, & outro caso
Determine:
(a) E32 F21
(b) Em que casos Es t Fk l=0 ?
© Em que casos Es t Fk l neq 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes definidas de uma forma específica: é uma matriz onde apenas o elemento na posição é igual a 1 e o resto é 0. Já é uma matriz com a mesma ideia, mas na posição . O conteúdo da matéria aqui envolve multiplicação de matrizes e matrizes especiais com elementos unitários. Para resolver, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender como essas matrizes e se comportam durante a multiplicação.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a): E32 times F21 = [ ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ] times [ ccc 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ] = [ ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ] .
Primeiro, identificamos as matrizes envolvidas:
  • é uma matriz onde o elemento na linha 3 e coluna 2 é 1, e o resto é 0.
  • é uma matriz onde o elemento na linha 2 e coluna 1 é 1, e o resto é 0.
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Como na só temos um 1 na posição , e na só temos um 1 na posição , o resultado será uma matriz onde apenas a posição correspondente será diferente de zero.
Multiplicando:

[
E_{32} \times F_{21} = \left[

\right]
\times
\left[

\right]

\left[

\right]
]

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Em que casos ?
Para que a multiplicação das matrizes e resulte em uma matriz nula, precisamos que nenhuma linha da multiplique com uma coluna da de forma que dê 1. Observando as definições:
  • tem um 1 apenas na posição .
  • tem um 1 apenas na posição .
A multiplicação será zero se a posição de não coincidir com a posição de , porque então o produto escalar será zero.

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte ©: Em que casos ?
Seguindo a lógica do passo anterior, será diferente de zero apenas quando a posição de coincidir com a posição de . Ou seja, . Nesses casos, o único elemento não nulo na matriz resultado será na posição , onde terá o valor 1.

Resposta

(a) A multiplicação [ ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ] resulta na matriz:
(b) sempre que .
© quando .

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