Estabelecer uma condição sobre e para que os seguintes sistemas sejam compatíveis:
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir uma condição sobre os números x + y - z = a -x + 2z = b y - z = c , e que faça com que o sistema de equações abaixo tenha pelo menos uma solução. Estamos trabalhando com sistemas lineares, que é um tópico de álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender como resolver sistemas de equações e verificar se eles são compatíveis, ou seja, se têm solução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar resolver o sistema para encontrar y - z = c Rightarrow y = z + c , e em termos de , e . Vamos começar pela terceira equação:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda equação:
-x + 2z = b Rightarrow x = 2z - b
Passo 4
Com (2z - b) + (z + c) - z = a e 2z - b + z + c - z = a Rightarrow 2z - b + c = a expressos em termos de , vamos substituir essas expressões na primeira equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos para 2z = a + b - c Rightarrow z = a + b - c2 :
Passo 6
Com y = z + c = a + b - c2 + c = a + b + c2 encontrado, podemos determinar x = 2z - b = 2 ( a + b - c2 ) - b = a - c e :
Resposta
O sistema é sempre compatível para quaisquer valores de , e . Isso significa que não há restrições sobre , e para que o sistema tenha solução.