Sejam $U e V sub-espaços do espaço $W tais que U e V sub-espaços do espaço . Todo vetor W=U oplus V se escre e, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U$ e $v in V). Sendo w in W$ e e as projecções dadas por P1 e e , mostrar que:
$\mathbf{P}{1} \circ \mathbf{P}{2}=\mathbf{P}{2} \circ \mathbf{P}{)(operador nulo de as projecções dadas por ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que fala sobre subespaços e projeções. O enunciado diz que temos dois subespaços e de um espaço tal que é a soma direta de e , ou seja, cada vetor em pode ser escrito de forma única como , onde está em e está em . Além disso, temos duas projeções e que pegam um vetor e retornam e , respectivamente. A missão é mostrar que a composição dessas projeções, tanto quanto , resulta no operador nulo em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a soma direta . Isso quer dizer que cada vetor pode ser escrito de maneira única como , com e . Além disso, os subespaços e só têm o vetor zero em comum.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma projeção. A projeção pega um vetor e retorna sua componente em , ou seja, . Similarmente, retorna a componente em .

Passo 4

Queremos mostrar que e . Vamos começar com .

Passo 5

Vamos aplicar P2(w) = v em um vetor qualquer P1(v) . Primeiro, aplicamos P1(v) = 0 em P1(P2(w)) = 0 :
Agora, aplicamos em :
Mas está em , e retorna a componente em . Como e só têm o zero em comum, a componente de em é zero. Então:
Portanto:
Isso significa que é o operador nulo.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para .

Passo 7

Aplicamos P1(w) = u em P2(u) :
P2(u) = 0
Agora, aplicamos P2(P1(w)) = 0 em :
Como está em , e retorna a componente em , que só contém o zero quando o vetor está em , temos:
Então:
Ou seja, também é o operador nulo.

Resposta

Assim, mostramos que , onde é o operador nulo em .

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