Sejam $U e V sub-espaços do espaço $W tais que
. Todo vetor
se escre e, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U$ e $v in V). Sendo
$ e
as projecções dadas por
e
, mostrar que:
$\mathbf{P}{1} \circ \mathbf{P}{2}=\mathbf{P}{2} \circ \mathbf{P}{)(operador nulo de
).
$\mathbf{P}{1} \circ \mathbf{P}{2}=\mathbf{P}{2} \circ \mathbf{P}{)(operador nulo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que fala sobre subespaços e projeções. O enunciado diz que temos dois subespaços
e
de um espaço
tal que
é a soma direta de
e
, ou seja, cada vetor em
pode ser escrito de forma única como
, onde
está em
e
está em
. Além disso, temos duas projeções
e
que pegam um vetor
e retornam
e
, respectivamente. A missão é mostrar que a composição dessas projeções, tanto
quanto
, resulta no operador nulo em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma direta
. Isso quer dizer que cada vetor
pode ser escrito de maneira única como
, com
e
. Além disso, os subespaços
e
só têm o vetor zero em comum.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma projeção. A projeção
pega um vetor
e retorna sua componente em
, ou seja,
. Similarmente,
retorna a componente em
.
Passo 4
Queremos mostrar que
e
. Vamos começar com
.
Passo 5
Vamos aplicar
em um vetor qualquer
. Primeiro, aplicamos
em
:
Agora, aplicamos
em
:
Mas
está em
, e
retorna a componente em
. Como
e
só têm o zero em comum, a componente de
em
é zero. Então:
Portanto:
Isso significa que
é o operador nulo.
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para
.
Passo 7
Aplicamos
em
:
Agora, aplicamos
em
:
Como
está em
, e
retorna a componente em
, que só contém o zero quando o vetor está em
, temos:
Então:
Ou seja,
também é o operador nulo.
Resposta
Assim, mostramos que
, onde
é o operador nulo em
.