Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: queremos saber se, quando temos duas matrizes quadradas
e
que são anti-simétricas, a soma delas
também será anti-simétrica. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz anti-simétrica e como as matrizes se comportam quando somamos duas delas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz
é chamada de anti-simétrica se a sua transposta
for igual ao negativo dela mesma. Em fórmula, isso fica:
Isso quer dizer que, para todo elemento
na matriz
, temos que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma das matrizes
e
. Queremos verificar se
também é anti-simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de
:
Isso funciona porque a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas.
Passo 4
Sabemos que
e
são anti-simétricas, então podemos substituir na equação:
Substituindo na expressão da transposta da soma:
Isso mostra que a transposta de
é igual ao negativo de
.
Passo 5
Concluímos que:
Isso significa que
satisfaz a condição para ser uma matriz anti-simétrica.
Resposta
Verdadeiro. A soma de duas matrizes anti-simétricas também é uma matriz anti-simétrica.