Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
e) Se A e B são matrizes anti-simétricas, então A+B é anti-simétrica ãéãéé

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: queremos saber se, quando temos duas matrizes quadradas e que são anti-simétricas, a soma delas também será anti-simétrica. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz anti-simétrica e como as matrizes se comportam quando somamos duas delas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz M^T = -M é chamada de anti-simétrica se a sua transposta for igual ao negativo dela mesma. Em fórmula, isso fica:
Isso quer dizer que, para todo elemento na matriz , temos que .

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma das matrizes (A + B)^T = A^T + B^T e . Queremos verificar se também é anti-simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de :
Isso funciona porque a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas.

Passo 4

Sabemos que A^T = -A B^T = -B e (A + B)^T = -A + (-B) = -(A + B) são anti-simétricas, então podemos substituir na equação:
Substituindo na expressão da transposta da soma:
Isso mostra que a transposta de é igual ao negativo de .

Passo 5

Concluímos que:
(A + B)^T = -(A + B)
Isso significa que satisfaz a condição para ser uma matriz anti-simétrica.

Resposta

Verdadeiro. A soma de duas matrizes anti-simétricas também é uma matriz anti-simétrica.

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Sejam $U e V sub-espaços do espaço $W tais que U e V sub-espaços do espaço . Todo vetor W=U oplus V se escre e, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U$ e $v in V). Sendo w in W$ e e as projecções dadas por P1 e e , mostrar que:
$\mathbf{P}{1} \circ \mathbf{P}{2}=\mathbf{P}{2} \circ \mathbf{P}{)(operador nulo de as projecções dadas por ).
Dados s=1,2,3 ou 4 e t=1,2 ou 3 , define-se a matriz,
Es t=[ei j]4 times 3, onde ei j= 1, & se i=s, j=t 0, & outro caso
Analogamente, para k=1,2,3 e l=1,2,3, define-se
Fk l=[fi j]3 times 3, onde fi j= 1, & se i=k, j=l 0, & outro caso
Determine:
(a) E32 F21
(b) Em que casos Es t Fk l=0 ?
© Em que casos Es t Fk l neq 0 ?
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