Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
e) Se A e B são matrizes anti-simétricas, então A+B é anti-simétrica ãéãéé

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: queremos saber se, quando temos duas matrizes quadradas e que são anti-simétricas, a soma delas também será anti-simétrica. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz anti-simétrica e como as matrizes se comportam quando somamos duas delas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma matriz ser anti-simétrica. Uma matriz M^T = -M é chamada de anti-simétrica se a sua transposta for igual ao negativo dela mesma. Em fórmula, isso fica:
Isso quer dizer que, para todo elemento na matriz , temos que .

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma das matrizes (A + B)^T = A^T + B^T e . Queremos verificar se também é anti-simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de :
Isso funciona porque a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas.

Passo 4

Sabemos que A^T = -A B^T = -B e (A + B)^T = -A + (-B) = -(A + B) são anti-simétricas, então podemos substituir na equação:
Substituindo na expressão da transposta da soma:
Isso mostra que a transposta de é igual ao negativo de .

Passo 5

Concluímos que:
(A + B)^T = -(A + B)
Isso significa que satisfaz a condição para ser uma matriz anti-simétrica.

Resposta

Verdadeiro. A soma de duas matrizes anti-simétricas também é uma matriz anti-simétrica.

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