Os dados que seguem representam áreas relativas de picos obtidas para cromatogramas de soluções padrão de metilvinilcetona (MVC). Considere que durante a medida do branco forneceu resultado de
Concentração de <br> MVC, mmol/L Área Relativa <br> de Pico
0,500 3,76
1,50 9,16
2,50 15,03
3,50 20,42
4,50 25,33
5,50 31,97
Construa um gráfico e determine os coeficientes da melhor linha reta obtida pelo método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que nos dá uma tabela com concentrações de MVC (metilvinilcetona) em mmol/L e as respectivas áreas relativas de pico obtidas em cromatogramas. A gente precisa construir um gráfico que relaciona essas duas variáveis e, em seguida, encontrar a melhor linha reta que se ajusta a esses dados usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre gráficos de dispersão e como aplicar a fórmula do método dos mínimos quadrados para calcular os coeficientes da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos as seguintes pares de valores:
Concentração de MVC (x), mmol/L Área Relativa de Pico (y)
0,500 3,76
1,50 9,16
2,50 15,03
3,50 20,42
4,50 25,33
5,50 31,97
Vamos anotar esses valores para facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular algumas somas que vão nos ajudar a encontrar os coeficientes da reta. Precisamos calcular:
  • Soma das concentrações (Σx)
  • Soma das áreas relativas (Σy)
  • Soma do produto de x por y (Σxy)
  • Soma do quadrado das concentrações (Σx²)
Vamos calcular cada uma delas:
Σx &= 0,500 + 1,50 + 2,50 + 3,50 + 4,50 + 5,50 = 17,00 , mmol/L Σy &= 3,76 + 9,16 + 15,03 + 20,42 + 25,33 + 31,97 = 105,67 Σxy &= (0,500 times 3,76) + (1,50 times 9,16) + (2,50 times 15,03) + (3,50 times 20,42) + (4,50 times 25,33) + (5,50 times 31,97) &= 1,88 + 13,74 + 37,575 + 71,47 + 113,985 + 175,835 = 413,495 Σx² &= (0,500)^2 + (1,50)^2 + (2,50)^2 + (3,50)^2 + (4,50)^2 + (5,50)^2 &= 0,25 + 2,25 + 6,25 + 12,25 + 20,25 + 30,25 = 71,50 ²

Passo 4

Com essas somas, podemos usar a fórmula do método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes da reta a = n Σxy - Σx Σyn Σx² - (Σx)^2 , onde:
b = Σy - a Σxn ²
a = 6 times 413,495 - 17,00 times 105,676 times 71,50 - (17,00)^2 = 2480,97 - 1794,39429 - 289 = 686,58140 approx 4,904
Onde b = 105,67 - 4,904 times 17,006 = 105,67 - 83,1686 = 22,5026 approx 3,75 é o número de pontos, que nesse caso é 6.
Vamos calcular primeiro o coeficiente angular :
Agora, vamos calcular o coeficiente linear :

Passo 5

Com os valores de y = 4,904 , x + 3,75 e calculados, podemos escrever a equação da melhor linha reta que se ajusta aos nossos dados:
Isso significa que cada aumento de 1 mmol/L na concentração de MVC está associado a um aumento de aproximadamente 4,904 na área relativa de pico, além de um valor base de 3,75.

Resposta

A equação da melhor linha reta obtida pelo método dos mínimos quadrados é:
y = 4,904 , x + 3,75

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