Dados os seguintes planos:
:
e
, calcule:
a distância entre eles.
a distância entre eles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois planos no espaço:
- Plano
: - Plano
:
Queremos calcular a distância entre esses dois planos. Pra isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a fórmula para a distância entre planos paralelos.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano.
Então, vamos identificar os vetores normais:
- Vetor normal de
: - Vetor normal de
:
Passo 3
Para os planos serem paralelos, deve existir um número
tal que
. Isso significa que:
Passo 4
Vamos resolver a última equação para encontrar
:
Agora, substituímos
nas outras equações:
Então,
e
.
Passo 5
Agora que já temos os valores de
e
, as equações dos planos ficam:
- Plano
: - Plano
:
Para facilitar, vamos multiplicar a equação do plano
por 2, assim:
Agora, ambos os planos têm os mesmos coeficientes para
,
e
, o que confirma que são paralelos.
Passo 6
A fórmula para a distância
entre dois planos paralelos é:
Onde:
-
, , são os coeficientes de , , (que são iguais nos dois planos) -
e são os termos constantes dos planos
Aplicando na nossa situação:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Então:
Esse é o valor simplificado da distância entre os dois planos.
Resposta
A distância entre os dois planos é
unidades.
Exercícios relacionados
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Para
, vetores,
, matriz real
, mostre que
Escreva a equação do plano determinado pelas retas
.
Resolva os sistemas:
(1)
(2)
(1)
(2)