Dados os seguintes planos: pi : a x+b y-4 z+3=0 e alpha: 3 x+2 y- 2 z+20=0, calcule:
a distância entre eles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois planos no espaço:
  • Plano pi: a x + b y -4 z +3=0
  • Plano alpha: 3 x +2 y -2 z +20=0
Queremos calcular a distância entre esses dois planos. Pra isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a fórmula para a distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
Então, vamos identificar os vetores normais:
  • Vetor normal de pi: npi = (a, b, -4)
  • Vetor normal de alpha: nalpha = (3, 2, -2)

Passo 3

Para os planos serem paralelos, deve existir um número k tal que npi = k nalpha. Isso significa que:
a = 3k
b = 2k
-4 = -2k

Passo 4

Vamos resolver a última equação para encontrar k:
-4 = -2k Rightarrow k = 2
Agora, substituímos k nas outras equações:
a = 3 times 2 = 6
b = 2 times 2 = 4
Então, a = 6 e b = 4.

Passo 5

Agora que já temos os valores de a e b, as equações dos planos ficam:
  • Plano pi: 6x +4y -4 z +3=0
  • Plano alpha: 3x +2 y -2 z +20=0
Para facilitar, vamos multiplicar a equação do plano alpha por 2, assim:
2 times (3x +2y -2 z +20) = 6x +4y -4 z +40=0
Agora, ambos os planos têm os mesmos coeficientes para x, y e z, o que confirma que são paralelos.

Passo 6

A fórmula para a distância d entre dois planos paralelos é:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2
Onde:
  • A, B, C são os coeficientes de x, y, z (que são iguais nos dois planos)
  • D1 e D2 são os termos constantes dos planos
Aplicando na nossa situação:
A = 6, B = 4, C = -4
D1 = 3, D2 = 40
Substituindo na fórmula:
d = |40 -3|raiz6^2 +4^2 +(-4)^2 = 37raiz36 +16 +16 = 37raiz68

Passo 7

Simplificando a expressão:
raiz68 = 2raiz17
Então:
d = 372raiz17 = 37raiz1734
Esse é o valor simplificado da distância entre os dois planos.

Resposta

A distância entre os dois planos é dfrac37 raiz1734 unidades.

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