Resolva os sistemas:
(1) lx wed>=(imath+jmath)=-imath+jmath x bul<=t(imath+jmath)=2
(2) lx bul<=t(2 imath+3 jmath+4 k)=9 x wed>=(-imath+jmath-k)=-2 imath+2 jmath

Passo 1

Beleza, vamos resolver os dois sistemas de equações vetoriais que você enviou. A matéria principal aqui é Álgebra Vetorial, onde vamos usar operações de produto escalar e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar definir o vetor com componentes desconhecidas e usar as equações fornecidas para encontrar esses componentes.

Passo 2

Resolução do Sistema 1:
Primeiro, vamos focar no sistema 1:
l x wed>= (imath + jmath) = -imath + jmath x bul<=t (imath + jmath) = 2
Vamos supor que , onde , e são números que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos começar pela segunda equação do sistema 1, que envolve o produto escalar:
x cdot (imath + jmath) = 2
Substituindo (aimath + bjmath + ck) cdot (imath + jmath) = a + b = 2 :
a + b = 2 (Equação 1)
Então, temos:
çã

Passo 4

Agora, vamos para a primeira equação do sistema 1, que envolve o produto vetorial:
x wed>= (imath + jmath) = -imath + jmath
Calculando o produto vetorial:
(aimath + bjmath + ck) times (imath + jmath) = (a - b)k + cimath - cjmath
Comparando com o lado direito:
(a - b)k + cimath - cjmath = -imath + jmath
Isso nos dá as seguintes equações:
c = -1 -c = 1 a - b = 0

Passo 5

Da segunda equação acima, temos -1 = -1 . Substituindo na primeira equação:
a + b = 2
Isso confirma que está correto. Da terceira equação, 2a = 2 implies a = 1 implies b = 1 , ou seja, .
Lembrando da Equação 1:
Como , substituímos:

Passo 6

Então, os valores encontrados são:
a = 1, b = 1, c = -1
Portanto, o vetor x = imath + jmath - k é:
l x bul<=t (2imath + 3jmath + 4k) = 9 x wed>= (-imath + jmath - k) = -2imath + 2jmath
Resolução do Sistema 2:
Agora, vamos resolver o sistema 2:
Usando novamente .

Passo 7

Começando pela primeira equação do sistema 2, que é o produto escalar:
x cdot (2imath + 3jmath + 4k) = 2a + 3b + 4c = 9 (Equação 2) çã

Passo 8

Agora, vamos para a segunda equação do sistema 2, que envolve o produto vetorial:
x wed>= (-imath + jmath - k) = -2imath + 2jmath
Calculando o produto vetorial:
(aimath + bjmath + ck) times (-imath + jmath - k) = (-b + c)imath + (-a - c)jmath + (a + b)k
Comparando com o lado direito:
(-b + c)imath + (-a - c)jmath + (a + b)k = -2imath + 2jmath
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-b + c = -2 (Equação 3) -a - c = 2 (Equação 4) a + b = 0 (Equação 5) çãçãçã

Passo 9

Da Equação 5:
a + b = 0 implies a = -b
Substituindo -(-b) - c = 2 implies b - c = 2 (Equação 6) na Equação 4:
-b + c = -2 (Equação 3) çã
E da Equação 3:
çã

Passo 10

Somando as Equações 3 e 6:
(-b + c) + (b - c) = -2 + 2 implies 0 = 0
Isso indica que as Equações 3 e 6 são consistentes. Vamos resolver para b - c = 2 implies c = b - 2 em termos de :
Da Equação 6:

Passo 11

Agora, substituímos 2a + 3b + 4c = 9 2(-b) + 3b + 4(b - 2) = 9 -2b + 3b + 4b - 8 = 9 5b - 8 = 9 5b = 17 b = 175 e a = -175, c = 175 - 2 = 75 na Equação 2:
Então:

Passo 12

Portanto, os valores encontrados são:
a = -175, b = 175, c = 75
Assim, o vetor x = -175imath + 175jmath + 75k é:

Resposta

  1. Para o sistema 1, a solução é .
  2. Para o sistema 2, a solução é .

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