Escreva a equação do plano determinado pelas retas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que é determinado por duas retas. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica e vamos precisar entender como determinar um plano a partir de duas retas que o definem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas retas dadas:
A primeira reta é dada por:
Essa é uma forma paramétrica das coordenadas da reta.
A segunda reta é dada por:
Aqui, é um parâmetro real que varia.
Passo 3
Para encontrar o plano determinado por essas duas retas, precisamos de duas informações essenciais:
Um ponto no plano: Podemos pegar qualquer ponto de uma das retas.
Um vetor normal ao plano: Este vetor é perpendicular ao plano e é determinante para a equação do plano.
Passo 4
Vamos começar identificando um ponto que pertence ao plano. Vamos escolher o ponto de interseção das retas ou, se elas não se interceptarem, qualquer ponto de uma das retas. Observando a segunda reta, quando , temos o ponto .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os vetores diretores das duas retas, pois esses vetores estarão no plano e nos ajudarão a encontrar o vetor normal.
Para a primeira reta :
Podemos escrever as coordenadas:
O vetor diretor é .
Para a segunda reta:
O vetor diretor é .
Passo 6
Com os vetores diretores e , podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular:
Simplificando:
Oops! O vetor normal deu , o que significa que os vetores diretores são paralelos e as retas são paralelas ou coincidentes. Nesse caso, precisamos verificar se as retas realmente determinam um único plano ou se são coincidentes.
Passo 7
Como os vetores diretores são múltiplos um do outro ( -12 = 1 + 1 = 0 - 3 ), as retas são paralelas. Agora, precisamos garantir que elas não são coincidentes para que possamos definir um plano único.
Vamos verificar se o ponto -0,5 neq 2 neq -3 pertence à primeira reta :
Substituindo na equação da reta :
Como os valores não são iguais, as retas são paralelas e distintas, e portanto determinam um único plano.
Passo 8
Para encontrar a equação do plano, precisamos de:
Um ponto no plano: x = 0, y = -1, z = 3 Rightarrow (0, -1, 3) .
Dois vetores no plano: u = (0 - (-1), -1 - 1, 3 - 0) = (1, -2, 3) e o vetor que une pontos das duas retas.
Vamos encontrar esse segundo vetor. Tomando um ponto na reta . Por exemplo, quando :
Agora, o vetor que une a é:
Passo 9
Agora, temos dois vetores no plano: n = v1 times u = i & j & k 2 & 1 & 1 1 & -2 & 3 e n = i(1 cdot 3 - 1 cdot (-2)) - j(2 cdot 3 - 1 cdot 1) + k(2 cdot (-2) - 1 cdot 1) .
Vamos calcular o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores:
n = i(3 + 2) - j(6 - 1) + k(-4 - 1)
Calculando:
n = i(5) - j(5) + k(-5)
n = (5, -5, -5)
n = (1, -1, -1)
Podemos simplificar esse vetor dividindo todos os componentes por 5:
Passo 10
Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto no plano 1(x - (-1)) -1(y - 1) -1(z - 0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
1(x + 1) -1(y - 1) -1(z) = 0
Onde x + 1 - y + 1 - z = 0 são as componentes do vetor normal e x - y - z + 2 = 0 é o ponto conhecido.